【東京帝國大學】曲線の長さを計算しよう【戦前入試問題】

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公開日: 2021年11月08日

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今回は，昭和 4 年の東大入試より，曲線の長さに関する問題をご紹介します。
√x + √y = 1 という方程式で表される曲線を描き，その長さを計算するというものです。
現代においても数学III で曲線の長さを計算する積分の公式を学習しますが，それを利用して長さを求めましょう。

公式に従って計算すると，根号の中に 2 次式が入った格好になります。この積分が少々面倒ですね。
この類の積分は根号を外すのが大切なので，sinh や tan を用いた置換をするのがポイントとなります。

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＜目次＞
00:00 昭和4年 (1929年) の東大入試
00:25 曲線の概形を予想する
01:59 曲線の概形を求める
05:54 微分係数の極限について
08:27 曲線の長さの公式
11:09 公式を利用し長さを立式
12:27 積分計算：√x を変数変換
15:15 積分計算：双曲線関数
22:25 結果とその大まかな値
24:22 解法のまとめ
26:13 別解①：媒介変数表示を利用
34:21 別解②：tan の変数変換を利用
38:42 別解③：積分公式を利用
41:12 まとめと学習者へのアドバイス
42:52 おわりに