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【東北帝國大學】tan の冪乗の積分【戦前入試問題】

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公開日: 2021年5月12日

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ℹ️ 林俊介のプロフィール
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・栄東中→筑駒高→東大理一→東大物理学科卒
・東大二次の数学で 9 割獲得し現役合格
・2014年 日本物理オリンピック金賞
・2014年 東大実戦模試物理1位

ℹ️ ご注意いただきたいこと
・解説は林俊介独自のもので,大学公式のものではありません。
・書籍等の紹介には Amazon アソシエイトリンクを用います。

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解説の不要箇所を削除し,理解しやすくしています。(問題 b の解説もあります)
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今回は,東北帝國大學の入試問題より,tan の冪乗の不定積分をピックアップ。
tan がらみの積分は,sin や cos と違った式変形をすることが多く,扱っていて面白いですね。
今回も,初手は部分積分ではないのが特徴的です。

漸化式を立てたら,それを用いて一般項を求めるのですが,I_{n} と I_{n-1} の差ではなく和が出てくるので,一般項を求める際は -1 の冪乗をかけるのがポイントですね。
最終的に,今回はシンプルな形ではなく,複数個の tan の和になります。
問題では 2n 乗(つまり偶数乗)しか問われていませんが,せっかくなので奇数乗も計算してみました。
大まかな流れは一緒ですが,tan^0 (=1) の積分と tan^1 の積分の違いが結果に現れます。

★補足
J の積分でなぜか部分積分をしていますね......
もちろん誤りではないのですが,普通に冪乗の合成関数の微分なので,部分積分をする必要はありません!

----------
<目次>
00:00 昭和8年 (1933年) の東北帝國大入試
00:25 方針:漸化式を出す
00:48 積分 I_n を分解
02:23 積分 J の計算
05:45 積分 I_n の漸化式
06:30 漸化式の使い方
11:53 解法のまとめ
13:14 n = 4 の場合のチェック
14:43 2n+1 乗(奇数乗)の積分
17:54 おわりに

説明文の続きを見る

Channels4 profile最難関の数学 by 林俊介

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