【東大2020】"断面" で攻略する体積計算問題【空間図形】

最難関の数学 by 林俊介

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公開日: 2021年12月23日

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ℹ️ 林俊介のプロフィール
https://hayashishunsuke.com/profile/
・栄東中→筑駒高→東大理一→東大物理学科卒
・東大二次の数学で 9 割獲得し現役合格
・2014年日本物理オリンピック金賞
・2014年東大実戦模試物理1位

ℹ️ ご注意いただきたいこと
・解説は林俊介独自のもので，大学公式のものではありません。
・書籍等の紹介には Amazon アソシエイトリンクを用います。

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2020年の東大理系数学より，空間図形の問題をピックアップ。
やや複雑な立体の断面について調べ，断面積を求め，それを積分することによって体積を計算します。
この流れは東大理系数学の体積計算問題で定番のものですね。

ただし，本問では考えている領域が不等式で与えられているわけではないのが難しいところです。
線分 AP の通過領域全体を求める前に，まず点 P の z 座標を固定したときの断面を調べ，そのあとに z 座標を動かすことで，最終的な立体の断面を求めることができます。
それがわかったら，あとは断面積を求めて積分するだけであり，ただの多項式関数の積分なのでこれは容易です。

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＜目次＞
00:00 2020年度東大理系数学 [5]
01:01 (1) スケッチと方針
04:05 (1) 円の中心を求める
07:25 (1) のまとめ
08:41 (2) スケッチと方針
10:46 (2) xz 平面の断面図を描く
15:32 (2) P の z 座標を固定したときの断面
22:16 (2) 最終的な断面図
24:58 (2) 断面積と体積の計算
26:14 (2) のまとめ
28:08 おわりに