【東大1997】媒介変数表示された直線はどこを通る？【方程式・領域】

最難関の数学 by 林俊介

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公開日: 2021年7月15日

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ℹ️ 林俊介のプロフィール
https://hayashishunsuke.com/profile/
・栄東中→筑駒高→東大理一→東大物理学科卒
・東大二次の数学で 9 割獲得し現役合格
・2014年日本物理オリンピック金賞
・2014年東大実戦模試物理1位

ℹ️ ご注意いただきたいこと
・解説は林俊介独自のもので，大学公式のものではありません。
・書籍等の紹介には Amazon アソシエイトリンクを用います。

1997年の東大入試より，直線の通過領域に関する問題をピックアップ。
2 点 A, B の座標がパラメータ t を用いて書かれており，t が 0 ≤ t ≤ 1 の範囲を動くときの直線 AB の通過領域を求めます。
点 A の座標が分数式で書かれていることもありビビってしまうかもしれませんが，実際に直線 AB の方程式を求めるとシンプルな形になってくれます。
直線の方程式を求めたら，あとは 3 次方程式の解の配置問題になります。
0 ≤ t ≤ 1 における t の 3 次関数の値域が 0 を含んでいれば OK ですね。
知識的にも難易度的にも，高校 2 年生であれば解けるレベルです。
受験学年でない人もぜひチャレンジしてみて下さい！

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＜目次＞
00:00 1997年東大文系数学 [4]
00:38 直線の方程式とその変形
03:27 方針：逆像法で領域を求める
04:36 0 ≤ t ≤ 1 なる解があればよい
07:11 (i) x ≤ 0 のときの f(t) の増減
10:55 (ii) 0 ＜ x ＜ 1 のときの f(t) の増減
16:00 (iii) x ≥ 1 のときの f(t) の増減
17:30 x, y の条件のまとめ
18:17 領域の図示
24:50 答えと解法のまとめ
26:08 結果の解釈
27:39 おわりに