【東京帝國大學】本当に入試に出た積分の難問【戦前入試問題】

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公開日: 2021年6月01日

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ℹ️ 林俊介のプロフィール
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・栄東中→筑駒高→東大理一→東大物理学科卒
・東大二次の数学で 9 割獲得し現役合格
・2014年 日本物理オリンピック金賞
・2014年 東大実戦模試物理1位

ℹ️ ご注意いただきたいこと
・解説は林俊介独自のもので，大学公式のものではありません。
・書籍等の紹介には Amazon アソシエイトリンクを用います。

今回は，昭和10年の東大入試より，定積分の問題をご紹介。
ただの有理関数や三角関数だけの式の積分は簡単なのですが，今回はごちゃ混ぜになっており，見るからに難しいです。
実際，ほとんどの人がこの積分を計算できないのではないでしょうか。（難問として有名なので，その意味で知っている人はいると思いますが。）

この動画では，いきなり問題の解説に入らず，ある種の対称性を有する関数の積分に便利な King Property と呼ばれる公式についてご紹介します。
当たり前といえば当たり前の式なのですが，今回の積分もこの King Property を利用することで計算ができるのです。

被積分関数の x 以外が，x = π/2 に関して対称的であるのがポイント。
その成立を利用し，x → π - x と変換することで，解決の糸口が見えてきます。
うまく x を消すことができたら，あとは三角関数の有理関数の積分をするだけです。
面倒に見える式でしたが，答えはかなり綺麗になりました。

この積分，今となっては知っている人もそこそこいますが，当時全くのノーヒントで東大入試に出たんです。
果たして，当時の受験生のうち何人がこれを解けたのでしょうか......

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＜目次＞
00:00 昭和10年 (1935年) の東大入試
00:43 King Property とは
02:47 f(a+b-x) = -f(x) の場合
05:36 f(x)+f(a+b-x)=const. の場合
07:47 King Property の例題①
12:53 King Property の例題②
15:49 King Property の例題③
18:43 今回の積分の一般形
20:55 今回の積分の計算方法
24:14 King Property のまとめ
26:02 宿題！（積分の難問）
27:07 おわりに