【東京帝國大學】簡単だけど奥が深い東大医学部入試【戦前入試問題】

最難関の数学 by 林俊介

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公開日: 2021年5月04日

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ℹ️ 林俊介のプロフィール
https://hayashishunsuke.com/profile/
・栄東中→筑駒高→東大理一→東大物理学科卒
・東大二次の数学で 9 割獲得し現役合格
・2014年日本物理オリンピック金賞
・2014年東大実戦模試物理1位

ℹ️ ご注意いただきたいこと
・解説は林俊介独自のもので，大学公式のものではありません。
・書籍等の紹介には Amazon アソシエイトリンクを用います。

今回は，大正14年の東京帝国大学医学部の入試問題をピックアップ。
与えられた関数のグラフを描く問題です。
増減と凹凸，そして x → +∞ での値などを調べ，図示すれば OK ですね。
問題自体はかなり簡単です。

グラフを書いてみるとわかりますが，この f(x) = A(1 - exp(-ax)) という関数は「 x が増加すると A に限りなく近づき，x が 1/a 増えるごとに A との差が 1/e 倍になる」という性質があります。
a はその「近づく速さ」を司る定数です。x が時間を表す場合，1/a のことを時定数（じていすう）と呼ぶことがあります。

でも実は，自然現象の中には，この形の関数で表現できるものが色々あるんです。
単に問題を解くだけだとすぐに終わってしまうので，動画ではその具体例も紹介することにしました。
今回の動画では
① 粘性抵抗をうける物体の落下運動
② 一次反応（化学反応）
の 2 つを扱います。

シンプルながら奥が深い問題でした。

なお，動画の最後に紹介した関数については，例えば次のページを参照してみて下さい：
=====
ミカエリス・メンテン式 / Michaelis-Menten kinetics (Wikipedia)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9F%E3%82%AB%E3%82%A8%E3%83%AA%E3%82%B9%E3%83%BB%E3%83%A1%E3%83%B3%E3%83%86%E3%83%B3%E5%BC%8F
=====
ロジスティック方程式 / logistic equation (Wikipedia)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AD%E3%82%B8%E3%82%B9%E3%83%86%E3%82%A3%E3%83%83%E3%82%AF%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F
=====
とりあえず概要を知りたい人のために Wikipedia のページをご紹介しましたが，実際にこれらの用語で検索してみることで，面白いページをたくさん見つけられると思いますので，興味のある人はぜひ！

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＜目次＞
00:00 大正14年 (1925年) の東大入試
00:54 A, a の符号と定義域について
02:11 f(x) の増減を調べる
06:06 f(x) のグラフを描く（答え）
08:20 補足：極限値への近づき方
12:33 例①「粘性抵抗のある落下運動」
16:46 例① 運動の解析
29:02 例① v-t グラフとその解釈
33:06 例②「一次反応」
34:00 例② [A] の時間変化の解析
38:33 例② [A], [B] の時間変化のグラフ
43:15 飽和関数のほかの例
48:23 おわりに