【九州帝國大學】多項式の分数関数の積分【戦前入試問題】

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公開日: 2021年4月22日

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・栄東中→筑駒高→東大理一→東大物理学科卒
・東大二次の数学で 9 割獲得し現役合格
・2014年 日本物理オリンピック金賞
・2014年 東大実戦模試物理1位

ℹ️ ご注意いただきたいこと
・解説は林俊介独自のもので，大学公式のものではありません。
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今回は，大正15年の九州帝國大學工学部の問題。
分母が 4 次の多項式，分子が 2 次の多項式になっている分数関数の積分です。
この分母は実数係数の範囲内で因数分解できるようになっているので，今回は部分分数分解を活用して攻略していきます。
いきなり 3 つに分けてもいいのですが，今回はあえて 2 ステップに分けることで，計算をやや簡略化しました。
最初の分数式が偶数次しか含んでいないので，一旦偶数次の範囲で分解し，そのあともう一度 1 次式が分母に出るように分解しています。

難関大受験生であれば，今回くらいの問題は解けるようにしておきたいですね。

＜訂正＞
▶︎ 06:24 で書いている式は，正しくは - p + 2q = 0 です。
▶︎ 12:25 では log|f(x)| を x で微分しているのですが，微分が抜けております。
ご指摘ありがとうございます！

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＜目次＞
00:00 大正15年 (1926年) の九大入試
00:18 x^2 = y と置換してもうまくいかない
03:25 分母が因数分解可 → 部分分数分解
06:51 もう一段階分解し，積分できる形に
08:32 部分分数分解の流れまとめ
09:32 積分の実行
12:05 今回の問題の答えと補足
13:45 おわりに