【東京帝国大學】積分の難問！根号をどう処理する？【戦前入試問題】

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公開日: 2021年5月09日

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・栄東中→筑駒高→東大理一→東大物理学科卒
・東大二次の数学で 9 割獲得し現役合格
・2014年 日本物理オリンピック金賞
・2014年 東大実戦模試物理1位

ℹ️ ご注意いただきたいこと
・解説は林俊介独自のもので，大学公式のものではありません。
・書籍等の紹介には Amazon アソシエイトリンクを用います。

今回は，昭和9年（1934年）の東京帝國大學の入試問題。
分母に根号を含む関数の不定積分を計算します。
ご覧の通り面倒な形をしていて，実際かなり難しいです。
不定積分ということもあり，現代の大学入試でこれが出題される可能性は低いですが，定積分にして誘導をつければ国公立大学で出題されてもおかしくないと思います。
数学III の積分に熟達してきた人は，ぜひチャレンジしてみてください！

★訂正
12:25 あたりで sinθ を x で表していますが，分母には根号が必要です。ごめんなさい。
ご指摘くださった方，ありがとうございます！

★補足
撮影後に計算したら，分母の根号およびその中身自体を置換（変数変換）するという方法でも思いの外簡単に計算できました。
ぜひみなさんもやってみてください！
※こんなふうに，根号およびその中身をそのまま別の文字でおくという方法も，根号を含む積分の計算ではよく見かけます。

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＜目次＞
00:00 昭和9年 (1934年) の東大入試
00:20 (a) 一部の積分を実行しておく
03:26 (a) K: 分母の根号をどう外すか
05:53 (a) K: tan での置換の準備
07:11 (a) K: 積分を θ で書き換える
09:21 (a) K: 1/cosθ の積分
10:59 (a) K: θ を x に戻す
13:44 (a) K の積分方法のまとめ
15:23 (a) I の積分結果（答え）
15:46 (a) 解法のまとめ
17:02 (b) 分母の根号を外すか
18:38 (b) tan での置換の準備
22:30 (b) 積分を θ で書き換える
24:21 (b) 1/sinθ の積分
25:36 (b) θ を x に戻す（答え）
27:18 (b) 解法のまとめ
28:55 おわりに