【京大2008】2 つのグラフが共有点をもつ条件【方程式・グラフ】

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公開日: 2021年9月04日

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・栄東中→筑駒高→東大理一→東大物理学科卒
・東大二次の数学で 9 割獲得し現役合格
・2014年日本物理オリンピック金賞
・2014年東大実戦模試物理1位

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・解説は林俊介独自のもので，大学公式のものではありません。
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2008年の京大理系数学より，グラフの共有点に関する問題をピックアップしました。
y = px + q という 1 次関数のグラフと y = logx という対数関数のグラフが共有点をもたないような p, q の必要十分条件を求めます。
シンプルな設定の問題で，実際難易度も低いのですが，今回は 2 つの解法で攻略します。
双方の解法を使えるようにするとよいと思います。
また，答案の途中で必要となる「多項式（単項式）と対数の発散速度」についても補足説明をしてみました。
感覚的には当たり前の事実ではあるのですが，ちゃんと証明できるようにしておきましょう。

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＜目次＞
00:00 2008年京大理系数学 [1]
01:14 解法1 連立して定数分離
04:27 解法1 関数 f(x) の増減 (p＞0)
12:02 解法1 関数 f(x) の増減 (p≤0)
14:39 解法1 2 つの場合のまとめ
15:24 解法1 のまとめ
18:03 補足: 多項式と対数の強弱
28:28 解法2 接線に着目する
30:53 解法2 関数 logx の増減
32:34 解法2 接線の方程式
34:36 解法2 接線の傾きの制限
38:00 解法2 のまとめ
38:32 学習者へのアドバイス
39:35 おわりに