【京大2012】解の個数はちょうど 1 個！ちょっと面倒な領域問題【方程式・領域】

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公開日: 2021年7月19日

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ℹ️ 林俊介のプロフィール
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・栄東中→筑駒高→東大理一→東大物理学科卒
・東大二次の数学で 9 割獲得し現役合格
・2014年 日本物理オリンピック金賞
・2014年 東大実戦模試物理1位

ℹ️ ご注意いただきたいこと
・解説は林俊介独自のもので，大学公式のものではありません。
・書籍等の紹介には Amazon アソシエイトリンクを用います。

2012年の京大文系数学 [5] より，またしても領域問題をピックアップ。
cosaθ = cosbθ の θ ∈ (0, π] における解がちょうど 1 個になるような正の実数 a, b の組 (a, b) の範囲を図示する問題です。
シンプルな見た目の方程式ではありますが，cos の値が等しいときの aθ と bθ の関係には 2 種類あるため，そのどちらで解があるのかを見極めなければなりません。
また，そもそも a = b の場合は任意の θ ∈ (0, π] が方程式の解となるため，これについても排除する必要があります。

思いのほか慎重な議論を要するため，大雑把に問題を解くことしかできない人にとっては難しい問題です。
一方，日頃から丁寧に議論する習慣のある人にとっては，大して難しい問題ではないでしょう。
論理的思考力がストレートに結果に出るという意味において，良問だと思います。

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＜目次＞
00:00 2012年 京大 文系数学 [5]
00:47 cos が等しくなるときの角度の関係
04:16 ポイント：a = b のケースを除外
05:53 2 つのケースがある
06:41 (i) aθ = bθ + 2kπ の場合
12:15 (ii) aθ = -bθ + 2kπ の場合
14:00 解は全部で 1 個
15:05 2 種類の解の整理
18:41 条件を満たす (a, b) の図示
23:56 解法のまとめ
26:58 学習者へのアドバイス
28:04 おわりに