【東大2011】二等辺三角形の重心の軌跡【方程式・領域】

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公開日: 2021年8月10日

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ℹ️ 林俊介のプロフィール
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・栄東中→筑駒高→東大理一→東大物理学科卒
・東大二次の数学で 9 割獲得し現役合格
・2014年 日本物理オリンピック金賞
・2014年 東大実戦模試物理1位

ℹ️ ご注意いただきたいこと
・解説は林俊介独自のもので，大学公式のものではありません。
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2011年の東大文理共通問題より，軌跡・領域分野の問題をピックアップしました。
放物線 y = x^2 上に点 P(1/2, 1/4) と Q(α, α^2), R(β, β^2) があり，PQ = PR をみたしつつ Q, R が動くときに，△PQR の重心 G がどこを動くか考えます。
必要条件としての G の軌跡の方程式は簡単に求まりますが，そのうちどの部分が G の軌跡となるかを丁寧に論じるのがポイントです。
問題では放物線しか登場していないのに，G の軌跡が双曲線になるのが面白いところですね。

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＜目次＞
00:00 2011年 東大 文系[4] 理系[4]
00:52 問題の概要
02:56 α, β がみたすべき条件式
07:58 重心 G の座標 (X, Y)
09:33 求めるべき軌跡の言い換え
10:40 X, Y の関係式 (軌跡の方程式)
14:15 方針：α + β の範囲を考える
16:24 p (= α + β) の条件
22:03 p (= α + β) のとりうる値の範囲
25:43 重心 G の軌跡
29:28 答えと解法のまとめ
32:28 補足：もとの放物線も図示
34:24 学習者へのアドバイス
35:30 おわりに