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【東大1992】D = 0 の曲線なんて描けない……ちょっと難しい領域問題【方程式・領域】

高評価: 85件

再生: 3,403回

公開日: 2021年8月02日

★訂正
最後の領域を図示するところで,図の右上の領域 (放物線と直線の間で,p 座標が 1 より大きいところ) をすっかり塗り忘れています。ごめんなさい!!

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1992年の東大文系数学より,方程式の解の配置関係の問題をピックアップしました。
2 次以下の方程式に解が存在し,その全ての解の実部が負となるようなパラメータ p, q の条件を求めるというものです。
実数解の場合はその値自体が負であれば OK で,複素数解の場合は実部が負であるという条件が課されることになります。

とにかく解を計算してその実部を見ればよい,と思うわけですが,二次方程式のときの判別式で手が止まってしまいます。
pq 平面で D = 0 という曲線を図示すると,到底文系数学の範囲では描けない曲線となってしまうのです。
そこで,曲線 D = 0 を描かずに議論することになるのですが,それでもちゃんと答えを出せるというのがこの問題の面白いところです。
結構頭を使う問題なので,受験生の皆さんはぜひ自分で解いてみてください!
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<Twitter: @884_96>
https://twitter.com/884_96
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【プロフィール】
林 俊介 (はやし しゅんすけ)
オンライン家庭教師を運営する会社の社長。
大学の講師もやっています。

2015年 筑波大学附属駒場高等学校 卒
2015年 東京大学理科一類 入学
2019年 東京大学理学部物理学科 卒

・2014年 日本物理オリンピック金賞
・2014年 東大実戦模試物理1位
・東大入試本番では数学で 9 割を獲得
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<目次>
00:00 1992年 東大 文系数学 [1]
00:55 (i) 0 次の方程式のとき
02:11 (ii) 1 次の方程式のとき
04:13 (iii) 2 次の方程式のとき
06:25 (iii) 判別式 D が 0 以上のとき
17:03 (iii) 判別式 D が負のとき
23:45 (iii) まとめと図示
25:40 答えと解法のまとめ
28:00 別解:2 解の和と積に着目
36:10 境界 D = 0 が不要だったワケ
40:07 学習者へのアドバイス
41:00 おわりに

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