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【東大1994】基本に忠実にやれば D 難度でも解けます。【軌跡・領域】

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公開日: 2021年7月05日

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1994年の東大理系数学より,絶対値を含む関数についての問題をピックアップ。
問題文自体に絶対値記号が登場するわけではないのですが,問題で定義されている距離 d を一般的に書くと
d = |x - x'| + |y - y'|
というふうに,各座標の差(の絶対値)が登場します。

(1) では 2 点 O(0, 0) と A(1, 1) に対し,d(O, P) = d(P, A) となる点 P の範囲を図示します。
シンプルな設定ではありますが,方針を誤ると大変なことになるのがこの問題の怖いところです。
絶対値記号を含む 1 変数の方程式や不等式は,場合分けして解くことが多いです。
それと同じように,今回も絶対値記号の中身,つまり座標どうしの大小関係で場合分けすると,思いのほかシンプルに問題を解くことができるのです。
基本に忠実解くのが大切なわけですね。

(2) でもやることは基本的に変わらないのですが,条件を満たす 0 以上の実数 a が存在する点 P の範囲を図示するということで,パラメータ a が加わっていることにより難易度はさらに上がっています。
まずは,a の値を固定し,そのときに限り条件を満たす点 P の範囲を図示する(つまり (1) と同じことをやる)ことになります。
その後,a の値を色々動かして,グラフが通過する領域を求めます。
なんとなく通過領域を図示するだけでは答案として不十分なので,いわゆる順像法により丁寧に議論しましょう。

ここまでやってようやくこの大問は終了です。
赤本でも D 難度になっている問題なのですが,やはり手強い問題です。
しかし,やっていること自体は「絶対値記号の中身で場合分け」「二次関数の最大値・最小値を求める際の場合分け」だけなので,実は高校 1 年生でも解けるんです。
基本に忠実に問題を解くことの重要性を知ることのできる良問(?)です。東大の大問にしては重すぎますが......
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<Twitter: @884_96>
https://twitter.com/884_96
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【プロフィール】
林 俊介 (はやし しゅんすけ)
オンライン家庭教師を運営する会社の社長。
大学の講師もやっています。

2015年 筑波大学附属駒場高等学校 卒
2015年 東京大学理科一類 入学
2019年 東京大学理学部物理学科 卒

・2014年 日本物理オリンピック金賞
・2014年 東大実戦模試物理1位
・東大入試本番では数学で 9 割を獲得
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<目次>
00:00 1994年 東大 理系数学 [6]
01:20 距離関数 d(X, Y) の具体形
03:58 (1) 解くべき方程式
05:12 (1) 絶対値つきの方程式の解法
08:29 (1) 今回の解法:xy 平面を分割
10:22 (1) 各領域での Δ(x, y) の表式
12:39 (1) 各領域で Δ = 0 となる条件
15:14 (1) 結果の図示
16:52 (1) の解法のまとめ
18:45 (1) 答えの妥当性のチェック
20:31 (2) 方針:まずは a を固定
21:14 (2) 条件式と Δ の書き換え
23:27 (2) 各領域での Δ'(x, y) の表式
25:32 (2) 各領域で Δ' = 0 となる条件
33:47 (2) ある a での Δ' = 0 のグラフ
35:08 (2) ここまでの解法のまとめ
35:50 (2) x = t での Δ' の値域を求める
38:08 (2) (i) t < 0 のとき
38:57 (2) (ii) t ≥ 0 のとき
44:54 (2) 順像法の結果とその図示
46:01 (2) の解法のまとめ
48:53 学習者へのアドバイス
51:07 おわりに

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