【東大1994】基本に忠実にやれば D 難度でも解けます。【軌跡・領域】

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公開日: 2021年7月05日

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ℹ️ 林俊介のプロフィール
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・栄東中→筑駒高→東大理一→東大物理学科卒
・東大二次の数学で 9 割獲得し現役合格
・2014年 日本物理オリンピック金賞
・2014年 東大実戦模試物理1位

ℹ️ ご注意いただきたいこと
・解説は林俊介独自のもので，大学公式のものではありません。
・書籍等の紹介には Amazon アソシエイトリンクを用います。

1994年の東大理系数学より，絶対値を含む関数についての問題をピックアップ。
問題文自体に絶対値記号が登場するわけではないのですが，問題で定義されている距離 d を一般的に書くと
d = |x - x'| + |y - y'|
というふうに，各座標の差（の絶対値）が登場します。

(1) では 2 点 O(0, 0) と A(1, 1) に対し，d(O, P) = d(P, A) となる点 P の範囲を図示します。
シンプルな設定ではありますが，方針を誤ると大変なことになるのがこの問題の怖いところです。
絶対値記号を含む 1 変数の方程式や不等式は，場合分けして解くことが多いです。
それと同じように，今回も絶対値記号の中身，つまり座標どうしの大小関係で場合分けすると，思いのほかシンプルに問題を解くことができるのです。
基本に忠実解くのが大切なわけですね。

(2) でもやることは基本的に変わらないのですが，条件を満たす 0 以上の実数 a が存在する点 P の範囲を図示するということで，パラメータ a が加わっていることにより難易度はさらに上がっています。
まずは，a の値を固定し，そのときに限り条件を満たす点 P の範囲を図示する（つまり (1) と同じことをやる）ことになります。
その後，a の値を色々動かして，グラフが通過する領域を求めます。
なんとなく通過領域を図示するだけでは答案として不十分なので，いわゆる順像法により丁寧に議論しましょう。

ここまでやってようやくこの大問は終了です。
赤本でも D 難度になっている問題なのですが，やはり手強い問題です。
しかし，やっていること自体は「絶対値記号の中身で場合分け」「二次関数の最大値・最小値を求める際の場合分け」だけなので，実は高校 1 年生でも解けるんです。
基本に忠実に問題を解くことの重要性を知ることのできる良問（？）です。東大の大問にしては重すぎますが......

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＜目次＞
00:00 1994年 東大 理系数学 [6]
01:20 距離関数 d(X, Y) の具体形
03:58 (1) 解くべき方程式
05:12 (1) 絶対値つきの方程式の解法
08:29 (1) 今回の解法：xy 平面を分割
10:22 (1) 各領域での Δ(x, y) の表式
12:39 (1) 各領域で Δ = 0 となる条件
15:14 (1) 結果の図示
16:52 (1) の解法のまとめ
18:45 (1) 答えの妥当性のチェック
20:31 (2) 方針：まずは a を固定
21:14 (2) 条件式と Δ の書き換え
23:27 (2) 各領域での Δ'(x, y) の表式
25:32 (2) 各領域で Δ' = 0 となる条件
33:47 (2) ある a での Δ' = 0 のグラフ
35:08 (2) ここまでの解法のまとめ
35:50 (2) x = t での Δ' の値域を求める
38:08 (2) (i) t ＜ 0 のとき
38:57 (2) (ii) t ≥ 0 のとき
44:54 (2) 順像法の結果とその図示
46:01 (2) の解法のまとめ
48:53 学習者へのアドバイス
51:07 おわりに