【５人しか受からない超難関入試】京大 2019年度特色入試 [2]【整式の証明問題】

最難関の数学 by 林俊介

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公開日: 2021年5月21日

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ℹ️ 林俊介のプロフィール
https://hayashishunsuke.com/profile/
・栄東中→筑駒高→東大理一→東大物理学科卒
・東大二次の数学で 9 割獲得し現役合格
・2014年日本物理オリンピック金賞
・2014年東大実戦模試物理1位

ℹ️ ご注意いただきたいこと
・解説は林俊介独自のもので，大学公式のものではありません。
・書籍等の紹介には Amazon アソシエイトリンクを用います。

京大には一般入試だけでなく「特色入試」というものがあります。
この入試は，数学が特に優秀な受験生を対象としています。
一般入試と異なり，たった 5 名しか合格しない狭き門です。
当然問題も超ハイレベル。日本の大学入試数学の中でもトップレベルに難しいですね。

今回は，2019年度京大特色入試（理学部，数理科学入試）の第 2 問を解説していきます。
整式に関する 2 つの証明問題で構成されています。

(1) は，有理関数の部分分数分解に関する問題。
両辺の分母を取り払うことにより整式の恒等式の問題になり，代入する x の値を工夫することで，係数 c0 ~ cn を求めることができます。

(2) は，整式に関する複雑な恒等式を証明する問題。
(1) を利用する方法を考えたのですが，なかなか見つけることができませんでした。
そこで今回は，(1) を用いずに証明をしています。
やはり分母の x を取り払い，両辺を整式にしてからそれを証明するという方針です。
整式なので，両辺の次数 +1 個の相異なる x を代入して等号が成立すれば，恒等式であることを証明できる，というのがポイントです。
動画内でも紹介していますが，整式（多項式）の一致の定理については，興味があったら各自で調べてみてください！

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＜目次＞
00:00 2019年度京大特色入試 [2]
01:02 (1) 関数 G の導入＆式の書き換え
04:47 (1) (☆) を考えればよい理由
07:55 (1)係数を求める方針
11:54 (1) 条件式の一般形
15:56 (1) (n-k)!ck を用いた書き換え
17:55 (1) 連立方程式の特徴
21:21 (1) 解法のまとめ
24:29 (2) 分母の x を取り払う
26:30 (2) 整式の一致の定理
29:39 (2) 証明の方針
33:02 (2)(i) a = b = 0 のとき
34:13 (2)(ii) 代入する x の値
36:22 (2)(ii) x = 2m+1 を左辺に代入
38:36 (2)(ii) x = 2m+1 を右辺に代入
46:59 (2)(ii) 組み合わせ論のアプローチ
52:21 (2) 解法のまとめ
54:56 おわりに