【東北帝國大學】単項式 × 三角関数の積分【戦前入試問題】

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公開日: 2021年4月27日

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ℹ️ 林俊介のプロフィール
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・栄東中→筑駒高→東大理一→東大物理学科卒
・東大二次の数学で 9 割獲得し現役合格
・2014年日本物理オリンピック金賞
・2014年東大実戦模試物理1位

ℹ️ ご注意いただきたいこと
・解説は林俊介独自のもので，大学公式のものではありません。
・書籍等の紹介には Amazon アソシエイトリンクを用います。

今回は大正13年の東北帝國大學工学部の入試問題。
x のべき乗に sin がかかった形の不定積分をする問題です。
部分積分を行うことで単項式部分の次数をどんどん下げることができるのですが，部分積分をすればするほどたくさんの項が生まれて複雑になります。
x の次数とともに一気に煩雑な式になりますね。

単に x^4 sinx の積分を計算するのではなく，あえて一般化した漸化式を導出して，それを用いて計算してみました。
また，後半は発展的な話題として x^n sinx の不定積分についても言及しています。
第二種不完全 Gamma 関数については，僕自身もよく理解しきれていないので，あくまで「これを用いることで x^n sinx の積分を表現できるよ」という程度で紹介しています。

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＜目次＞
00:00 大正13年 (1924年) の東北大入試
00:17 x^n sinx の積分漸化式を求める
07:14 漸化式を用いて I4 を求める
11:45 不定積分の答えと検算（微分）
14:38 解法のまとめ
15:58 積分の一般項は出せないのか
16:27 第二種不完全 Gamma 関数で表現可能
18:31 n = 2 の場合で成立を確認
25:09 I2 の計算結果と検算
27:43 コメント＆おわりに