【京大2001】積分と極限の融合問題｜大学入試 数学 過去問

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公開日: 2020年11月09日

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ℹ️ 林俊介のプロフィール
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・栄東中→筑駒高→東大理一→東大物理学科卒
・東大二次の数学で 9 割獲得し現役合格
・2014年 日本物理オリンピック金賞
・2014年 東大実戦模試物理1位

ℹ️ ご注意いただきたいこと
・解説は林俊介独自のもので，大学公式のものではありません。
・書籍等の紹介には Amazon アソシエイトリンクを用います。

今回は，2001年の京大理系数学 [6] より，積分の極限値に関する問題です。
シンプルな式ではありますが，計算するのにだいぶ手間を要します。
（指数関数）×（周期関数）の形に着目して，等比数列の和の公式を活用。
数学 III の知識を総動員する良問です。

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＜目次＞
00:00 2001年 京大 理系数学 [6]
00:28 「指数関数 x 周期関数」→「等比数列」という発想
01:59 積分を n^2 個の区間に分ける
04:02 Ij の漸化式を立てる
06:13 等比数列の和を計算する
07:34 残りの積分 J を計算する（部分積分）
10:14 I の表式を求め，パーツに分ける
12:13 平均値の定理で，自明でない極限を計算する
14:23 I の値を求める（極限の積）
15:23 まとめ：積分を分割 → 等比数列の和 → 部分積分 → 平均値の定理
18:00 おわりに