【東京帝國大學】積分の難問！三角関数＆有理関数【戦前入試問題】

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公開日: 2021年5月11日

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ℹ️ 林俊介のプロフィール
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・栄東中→筑駒高→東大理一→東大物理学科卒
・東大二次の数学で 9 割獲得し現役合格
・2014年 日本物理オリンピック金賞
・2014年 東大実戦模試物理1位

ℹ️ ご注意いただきたいこと
・解説は林俊介独自のもので，大学公式のものではありません。
・書籍等の紹介には Amazon アソシエイトリンクを用います。

今回は，昭和4年（1929年）の東京帝国大学の入試問題。
三角関数の有理関数を積分する問題です。
分母に sin と cos が混在しており，また定数 p があるので見た目がだいぶ煩雑になっています。
最初の手がかりを掴むのが難しいかもしれませんね。
分母の cos が二乗になっているので，それを sin だけの式に直すのがポイントです。
これにより，sinθ = x と置換することが可能となります。
......とはいえ，置換した後の積分もそこそこ大変です。
分母が二次になっている有理関数の積分では，部分分数分解や arctan を使うことが多いです。覚えておきましょう！

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＜目次＞
00:00 昭和4年 (1929年) の東大入試
00:17 積分の方針①
05:19 sinθ = x と変数変換
06:14 積分の方針②
09:52 log の積分を取り除く
10:49 積分 J の分母を変形
12:30 部分分数分解
17:00 積分結果の整理
19:03 結果と解法のまとめ
23:32 おわりに