【東北帝國大學】tan の冪乗の積分【戦前入試問題】

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公開日: 2021年5月12日

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・栄東中→筑駒高→東大理一→東大物理学科卒
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今回は，東北帝國大學の入試問題より，tan の冪乗の不定積分をピックアップ。
tan がらみの積分は，sin や cos と違った式変形をすることが多く，扱っていて面白いですね。
今回も，初手は部分積分ではないのが特徴的です。

漸化式を立てたら，それを用いて一般項を求めるのですが，I_{n} と I_{n-1} の差ではなく和が出てくるので，一般項を求める際は -1 の冪乗をかけるのがポイントですね。
最終的に，今回はシンプルな形ではなく，複数個の tan の和になります。
問題では 2n 乗（つまり偶数乗）しか問われていませんが，せっかくなので奇数乗も計算してみました。
大まかな流れは一緒ですが，tan^0 (=1) の積分と tan^1 の積分の違いが結果に現れます。

★補足
J の積分でなぜか部分積分をしていますね......
もちろん誤りではないのですが，普通に冪乗の合成関数の微分なので，部分積分をする必要はありません！

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＜目次＞
00:00 昭和8年 (1933年) の東北帝國大入試
00:25 方針：漸化式を出す
00:48 積分 I_n を分解
02:23 積分 J の計算
05:45 積分 I_n の漸化式
06:30 漸化式の使い方
11:53 解法のまとめ
13:14 n = 4 の場合のチェック
14:43 2n+1 乗（奇数乗）の積分
17:54 おわりに