【東北帝國大學】分母が因数分解されていない有理関数の積分【戦前入試問題】

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公開日: 2021年5月15日

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ℹ️ 林俊介のプロフィール
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・栄東中→筑駒高→東大理一→東大物理学科卒
・東大二次の数学で 9 割獲得し現役合格
・2014年 日本物理オリンピック金賞
・2014年 東大実戦模試物理1位

ℹ️ ご注意いただきたいこと
・解説は林俊介独自のもので，大学公式のものではありません。
・書籍等の紹介には Amazon アソシエイトリンクを用います。

今回は，最初の段階で分母が因数分解されていない有理関数の積分問題です。
分母は実数係数の 1 次式にまで因数分解することができないので，簡単には積分できません。
そこで，log の微分や arctan の微分を利用して，分母の因数と同じ形を無理やり生み出すことになります。
部分分数分解のパーツを必要数揃えて，係数調整をし，部分分数分解を実行し，各項を積分する。
この流れで，一部の有理関数はなんとか積分することができます。

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＜目次＞
00:00 昭和6年 (1931年) の東北帝國大入試
00:27 問題①：積分の発想
01:57 問題①：2 つの積分に分解
02:54 問題①：I1（対数）
03:42 問題①：I2（tan の逆関数）
05:56 問題①：答えと解法のまとめ
08:00 問題②：積分の発想
10:11 問題②：部分分数分解
11:05 問題②：各項の積分
12:04 問題②：答えと解法のまとめ
13:34 有理関数の積分のポイント
14:04 おわりに