【東北帝國大學】シンプルに見えて超難しい積分【戦前入試問題】

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公開日: 2021年5月17日

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・栄東中→筑駒高→東大理一→東大物理学科卒
・東大二次の数学で 9 割獲得し現役合格
・2014年 日本物理オリンピック金賞
・2014年 東大実戦模試物理1位

ℹ️ ご注意いただきたいこと
・解説は林俊介独自のもので，大学公式のものではありません。
・書籍等の紹介には Amazon アソシエイトリンクを用います。

今回は東北帝國大學の入試問題をピックアップ。
非常にシンプルな見た目をしている有理関数ですが，実際に積分をするのはかなり大変です。
これまでに紹介してきた有理関数の積分テクニックをフル活用して，問題を攻略していきましょう。

分母が因数分解されていると部分分数分解しやすいので，まずは分母の x^4 + 1 を因数分解します。
ぱっと見因数分解できなさそうな形ですが，2 乗 - 2 乗の形を作ることで，実数係数の範囲での因数分解が可能です。
√2 という係数は発生しますが，係数が有理数か無理数かは，積分可能性に影響しません。

因数分解ができたら，あとは arctan や log の微分公式を活用して，強引に部分分数分解をしていき，積分を実行するだけです。
積分に自信のある人は，ぜひチャレンジしてみてください！

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＜目次＞
00:00 昭和7年 (1932年) の東北帝國大入試
00:27 積分の発想
05:25 分母を因数分解する方法
07:21 部分分数分解の材料集め
14:45 分解のための係数調整
19:00 分解後の各項を積分
20:05 答えと解法のまとめ
22:12 おわりに