【東北帝國大學】tan(x/2) = t と置換する理由【戦前入試問題】

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公開日: 2021年5月13日

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ℹ️ 林俊介のプロフィール
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・栄東中→筑駒高→東大理一→東大物理学科卒
・東大二次の数学で 9 割獲得し現役合格
・2014年 日本物理オリンピック金賞
・2014年 東大実戦模試物理1位

ℹ️ ご注意いただきたいこと
・解説は林俊介独自のもので，大学公式のものではありません。
・書籍等の紹介には Amazon アソシエイトリンクを用います。

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解説を整理＆別解を追加しており，理解しやすいです。（問題 a の解説もあります）
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前回に引き続き，東北帝國大學の積分の問題です。（同じ大問の次の小問ですね）
三角関数についての有理式を積分する問題。
分母は sinx + cosx となっていますが，合成してしまえば 1 つの三角関数になるので，1/siny や 1/cosy の積分と実質的に同じになります。
これまで僕の YouTube チャンネルではそれらの積分を何度も扱ってきたので，それらをご覧になっている皆さんであれば積分は余裕だと思います。

また，もう一つの解法として "tan(x/2) = t" という置換もご紹介。
積分のテクニックとして，知っている人も多いはずです。

動画の後半では，その変形方法 "Weierstrass 置換" の理論と 2 つの例題を紹介しています。
"tan(x/2) = t" の置換が三角関数関連の積分テクニックとしてよく登場する理由が，これを見ればわかるはずです。

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＜目次＞
00:00 昭和8年 (1933年) の東北帝國大入試
00:28 解法① 三角関数の合成
02:47 解法① 変数変換と 1/siny の積分
04:59 答えと解法①のまとめ
06:58 解法② "tan(x/2) = t" の置換
12:05 解法② t の積分実行＆変数を戻す
12:41 答えと解法②のまとめ
13:44 ２つの解法の結果は等しい？
15:07 Weierstrass 置換
19:47 有理関数に変換される理由
25:43 例題１：1/(1 + sinx) の積分
27:08 例題２：1/(sinx + cosx + 1) の積分
28:14 場合によってはとても便利
29:32 おわりに