【東北帝國大學】これまでの知識をフル活用！難問積分【戦前入試問題】

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公開日: 2021年5月19日

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ℹ️ 林俊介のプロフィール
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・栄東中→筑駒高→東大理一→東大物理学科卒
・東大二次の数学で 9 割獲得し現役合格
・2014年 日本物理オリンピック金賞
・2014年 東大実戦模試物理1位

ℹ️ ご注意いただきたいこと
・解説は林俊介独自のもので，大学公式のものではありません。
・書籍等の紹介には Amazon アソシエイトリンクを用います。

積分の問題は今回で一区切り。
最後は，多項式ではない分母を持った関数の，両側の広義積分です。
これまで学んだことをフル活用して攻略する必要があります。

これまでに根号を含む積分を扱ってきましたが，そこでは根号が外れるような置換をしてきました。
それと同じように，今回も 1/3 乗がなくなるような置換をします。
最もシンプルなのは，1/3 乗の部分をそのまま文字でおいてしまうことですね。
そうすることで，積分全体を有理関数に書き換えることができます。

次にその有理関数を一旦定積分にして積分するのですが，それも一苦労です。
これまでやってきたように部分分数分解をして，それぞれの項を積分していくことになります。
原始関数には log も arctan も出てくるので，まさにこれまでの総復習という感じですね。

定積分を実行できたら，あとは積分区間を特異点に飛ばす極限を考えます。
今回は，項別に極限を考えて和をとるという操作を許しました。項は有限個ですし，どの項も有限の値に収束するのでこれについては認めてしまいましょう。

ということで，長いプロセスを経て，ようやく積分計算が完了します。
数学III で学ぶ内容（極限や積分），それに広義積分や arctan などもフル活用する面白い問題でした。

帝國大學の入試問題シリーズは，今後不定期での投稿となります。
一旦現代の入試解説に戻って，受験生により役に立つ内容を解説していく予定です！

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＜目次＞
00:00 昭和5年 (1930年) の東北帝國大入試
00:27 広義積分について
03:01 有理関数への変換
10:16 積分の方針：部分分数分解
13:39 分解のための係数を求める
16:24 分解した各項を積分 → 和をとる
18:11 A, B についての極限をとる
21:20 最終的な積分結果（答え）
22:11 解法のまとめ
24:55 おわりに