【東大2015】2 つの方法で攻略！放物線の通過領域は？【方程式・領域】

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公開日: 2021年7月11日

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ℹ️ 林俊介のプロフィール
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・栄東中→筑駒高→東大理一→東大物理学科卒
・東大二次の数学で 9 割獲得し現役合格
・2014年日本物理オリンピック金賞
・2014年東大実戦模試物理1位

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・解説は林俊介独自のもので，大学公式のものではありません。
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2015年の東大入試より，領域に関する問題をピックアップ。
僕が東大受験をした年でもありますね。
パラメータ a を含む放物線で，a が正の実数全体を動くときに，放物線が通過する領域を図示するのが最終目的です。

今回の動画では，
▶︎ 放物線の式を変形して a に関する方程式と見なし，その方程式が正の実数解をもつような a の条件を求める（逆像法）
▶︎ x 座標を固定したときの y の値域を求める（順像法）
の 2 通りで攻略していきます。

問題によっては逆像法・順像法の一方が簡単で他方が面倒ということもあるのですが，今回の問題はどちらもさほど難しくはありません。
2 つの方法の考え方の違いを学ぶにはうってつけの問題ですので，ぜひ両方とも試してみてください。

東大・京大レベルの理系受験生であれば当然正解したいところですね。
答え（領域）の境界線に双曲線が含まれてしまうので，その意味では文系受験生は解けないのですが，逆像法であれば文系であっても条件式を出すだけなら可能ですので，ぜひ文系の受験生もチャレンジしてみてください！

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＜目次＞
00:00 2015年東大理系数学 [1]
00:36 2 つの解法（順像法・逆像法）
05:08 逆像法：考え方
06:59 逆像法：方程式の次数に注意
08:06 逆像法 (i) |x| = 1 のとき
10:22 逆像法 (ii) |x| ≠ 1 のとき
12:05 逆像法 (ii)-1 下に凸な放物線のとき
18:09 逆像法 (ii)-2 上に凸な放物線のとき
22:40 逆像法：条件のまとめと図示
28:24 逆像法：答えと解法のまとめ
30:38 順像法：考え方
32:02 順像法 (i) |x| = 1 のとき
32:36 順像法 (ii)-1 |x| が 1 より小さいとき
34:34 順像法 (ii)-2 |x| が 1 より大きいとき
36:28 順像法：条件のまとめと図示
37:08 順像法：解法のまとめ
38:20 逆像法と順像法
38:57 答えの領域の考察
43:57 おわりに