【５人しか受からない超難関入試】京大 2019年度 特色入試 [1]【数列・極限】

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公開日: 2021年5月20日

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ℹ️ 林俊介のプロフィール
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・栄東中→筑駒高→東大理一→東大物理学科卒
・東大二次の数学で 9 割獲得し現役合格
・2014年 日本物理オリンピック金賞
・2014年 東大実戦模試物理1位

ℹ️ ご注意いただきたいこと
・解説は林俊介独自のもので，大学公式のものではありません。
・書籍等の紹介には Amazon アソシエイトリンクを用います。

京大には一般入試だけでなく「特色入試」というものがあります。
この入試は，数学が特に優秀な受験生を対象としています。
一般入試と異なり，たった 5 名しか合格しない狭き門です。
当然問題も超ハイレベル。日本の大学入試数学の中でもトップレベルに難しいですね。

今回は，2019年度京大特色入試（理学部，数理科学入試）の第 1 問を解説していきます。
a を 2 以上の整数としたときの，「1/a 乗の和」に関する極限の証明問題です。

数学III では，自然数の逆数和が正の無限大に発散するという有名事実を扱います。
(1) ではそれと同じように「1/a 乗の和」を積分で評価していくのがポイントとなります。

(2) では，その「1/a 乗の和」から主要項を除いた残りがなお n → ∞ で正の無限大に発散することを証明します。
主要項を取り除いている以上，(1) とは全然違う評価をすることになります。
発散することを証明したいので緩すぎる評価は NG 。
不等式がちゃんと成り立ち，かつ n → ∞ で発散するようなもので下から評価するにはどうすればよいか。
ココが頭の使いどころですね！

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＜目次＞
00:00 2019年度 京大特色入試 [1]
00:54 (1) 主張のイメージ
05:20 (1) 方針：和を数列で評価する
08:55 (1) 積分と和の大小関係
14:33 (1) 積分の実行と極限計算
18:47 (1) 解法のまとめ
21:46 (2) 方針：はみ出しを下から評価
27:47 (2) 関数の増減と接線，面積評価
31:43 (2) 三角形の面積和は発散するか
36:49 (2) 解法のまとめ
41:29 おわりに