【東大1998】円が接する → ○○比が登場！【図形・整数・数列・極限】

高評価: 166件

再生: 8,780回

公開日: 2021年7月01日

✅ 難関大受験生のための公式LINE：https://lin.ee/lI7n1SJ
登録者特典＆受験生向けライブあり

✅ Twitter：https://twitter.com/884_96
主に大学受験数学の情報をお届け

🌟 意欲ある中高生のためのオンライン個別指導
https://hayashishunsuke.com/lp/lecture/
こちらのページより体験授業をお申込ください。

🌟 出版社の方へ
https://hayashishunsuke.com/lp/for-publishers/
数学の書籍を執筆することに強い関心があります。
私に企画のご案内をしてくださる方は，上記ページをご覧ください。
※これまでの著作：”100年前の東大入試数学” (KADOKAWA)

ℹ️ 林俊介のプロフィール
https://hayashishunsuke.com/profile/
・栄東中→筑駒高→東大理一→東大物理学科卒
・東大二次の数学で 9 割獲得し現役合格
・2014年 日本物理オリンピック金賞
・2014年 東大実戦模試物理1位

ℹ️ ご注意いただきたいこと
・解説は林俊介独自のもので，大学公式のものではありません。
・書籍等の紹介には Amazon アソシエイトリンクを用います。

1998年の東大理系数学より，図形と数列・整数の融合問題をピックアップ。
たくさんの円が直線や他の円と接しており，それらの円の半径や接点の座標を数列とみなしています。
(1) で数列 qn の漸化式を求めますが，まずそこがやや難しいです。
中学の幾何で学習している人にとっては簡単かもしれませんが，そうでない人は「接している」という条件の数式化に苦労することでしょう。
(2) では数列 pn の漸化式を求めますが，これも難易度が高いです。
図形のどの部分に着目すれば漸化式を立てられるのか，見通しが立てづらいですからね。
(3) では，α という値からのズレの絶対値を上から評価して，xn の n → ∞ での極限が α であることを示します。
この極限の求め方は，難関大入試に頻出なので覚えておくとよいでしょう。

いわゆる Fibonacci 数列が複数登場するのが興味深いですね。
今回極限を求めた xn は，いわば「 Fibonacci 数列の隣りあう 2 項の比」で，それは黄金比（の逆数）に収束します。

様々な分野の融合問題になっているという意味でも，黄金比が登場するという意味でも，実によくできた問題だと感じます。

----------
＜目次＞
00:00 1998年 東大 理系数学 [3]
01:56 問題のセッティング
03:49 (1) qn の漸化式を求める
11:20 (1) qn の漸化式からいえること
12:06 (1) の解法のまとめ
14:14 (2) (1) で考えたこと
15:34 (2) 内分比に着目
17:28 (2) pn の漸化式を求める
20:26 (2) pn の漸化式からいえること
20:55 (2) qn と pn の項をいくつか求める
23:05 (2) Euclid の互除法を利用
25:25 (2) の解法のまとめ
28:34 (3) |xn+1 - α| と |xn - α| の関係
32:18 (3) 2/3 で上から評価 (不等式の証明)
37:09 (3) 不等式を繰り返し用いる
39:03 (3) の解法のまとめ
40:17 補足：FIbonacci 数列
41:02 おわりに