【京大2015】1 つの項に注目＆他のジャマな項を消す【整式・整数】

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公開日: 2021年5月23日

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ℹ️ 林俊介のプロフィール
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・栄東中→筑駒高→東大理一→東大物理学科卒
・東大二次の数学で 9 割獲得し現役合格
・2014年 日本物理オリンピック金賞
・2014年 東大実戦模試物理1位

ℹ️ ご注意いただきたいこと
・解説は林俊介独自のもので，大学公式のものではありません。
・書籍等の紹介には Amazon アソシエイトリンクを用います。

2015年の京大文系数学 [5] より，整式と整数の融合問題をピックアップ。
2 次式 f(x) と 1 次式 g(x) があり，任意の正の整数 n に対して f(x)/g(x) が整数になるとき，そもそも f(x) が g(x) で割り切れる，という事実を証明します。

感覚的には当たり前なのですが，それをどう数学的に表現するかが悩ましいところですね。
もし f(x) を g(x) で割ったときに余りがあったら，x に大きい正の整数 n を代入したときに，その余りの項の絶対値がかなり小さくなってしまいます。
そうすると，f(n)/g(n) が整数になりにくくなってしまうわけですね。
そこで，f(x)/g(x) のうち余りの項のみに着目したいので，それ以外を消していきます。

f(x) を g(x) で割った商を Ax + B, 余りを C とすると，x = n, n + 1 で考えて差をとることで B を消すことができます。
A は残ってしまいますが，もう一度差をとることで A も消せるのがポイントです。
C だけが残ったら，あとは n が十分大きいときを考えれば題意がしたがいます。

★訂正： 24:01 で書いている N は KMN の誤りです。ご指摘くださった方，ありがとうございます！
★補足：分母の g(x) が 0 になる可能性について言及すべきでした。今回の場合，d, e が正の有理数であり，n も正の有理数の範囲で考えているため，f(n)/g(n) の分母が 0 になることはありません。

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＜目次＞
00:00 2015年 京大 文系数学 [5]
00:39 f(x)/g(x) の割り算を実行すると...
04:43 解法① 商と余りを文字でおく
05:58 解法① 方針：C/g(x) がカギ
09:11 解法① C/g(x) を残す
14:51 解法① C の項の絶対値を小さくする
18:22 解法① のまとめ
21:37 解法② 係数を分数で表現
22:56 解法② KMR/g(n) がカギ
25:10 解法② 解法のまとめ
27:26 おわりに