【京大2004】誘導を利用しスッキリ解決！平方数の方程式【整数の性質】

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公開日: 2021年5月26日

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ℹ️ 林俊介のプロフィール
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・栄東中→筑駒高→東大理一→東大物理学科卒
・東大二次の数学で 9 割獲得し現役合格
・2014年 日本物理オリンピック金賞
・2014年 東大実戦模試物理1位

ℹ️ ご注意いただきたいこと
・解説は林俊介独自のもので，大学公式のものではありません。
・書籍等の紹介には Amazon アソシエイトリンクを用います。

今回は，2004年の京大入試より，整数の方程式の問題をピックアップ。
a, b, n を 0 以上の整数としたときに，a, b の方程式 a^2 + b^2 = 2^n の解を求めるというものです。
ただ，単に方程式を示されるだけだと，どのように問題を解いたらいいか分からないですよね。

そこで (1) が重要になります。
2 つの平方数の和が 4 の倍数ならば，その平方数それぞれも 4 の倍数である，ということを証明するのです。
これにより，指数 n が大きいときも，指数を下げていくことが可能となります。
(1) を利用すれば (2) は解決。
n が大きいと解はたくさんある気もしますが，実は高々 2 組しかないというのが面白いですね。

特別なテクニックは必要なく，
▶︎ 偶奇に着目した場合分け
▶︎ 整数に関する問題の証明
▶︎ 誘導問題の利用
などの要素が詰まった良問です！

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＜目次＞
00:00 2004年 京大 文系数学 [5]
00:35 (1) 奇数があるとどうなるか
03:13 (1)平方数の余り (mod 4)
05:00 (1) a^2 + b^2 の余り
06:03 (1) 余りが 0 になる条件
07:07 (1) 解法のまとめ
07:57 (2) 方針：(1) を利用する
11:20 (2) 指数 n が 2 小さくなる
12:35 (2) 指数をできる限り減らす
13:58 (2) ここまでのまとめ
14:33 (2)(i) n が偶数のとき
17:40 (2)(ii) n が奇数のとき
19:57 (2) 解法のまとめ
21:50 おわりに