管状近傍定理

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公開日: 2021年3月23日

今回は管状近傍定理を証明します。
これは動画では説明し忘れていましたが、管状近傍定理とは部分多様体の開近傍が法ベクトル束というベクトル束と微分同相になっていることを主張します。ベクトル束とは局所的には多様体とベクトル空間の直積空間になっている幾何学的対象のことです。これを逆関数の定理を応用して示すことが出来ます。証明にはRiemann幾何学の知識も使っていますが、出発点と出発点における初速度を与えてあげると運動が決まるのが測地線上(直線上)の物体の運動方程式になっているというだけです。指数写像とは所謂等速直線運動のRiemann多様体版です。

参考文献
管状近傍定理との出会いはこのシンプレクティック幾何学の本でした。修士1年の時に読み始めましたが、この本のヒントだけでは全く解けなかったです。
・Lectures on Symplectic Geometry (Lecture Notes in Mathematics)
https://amzn.to/3sgyksw

一般化された逆関数の定理は以下をかなり参考にさせていただきました。
https://www.google.co.jp/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=&ved=2ahUKEwiNhpunk8XvAhWnwosBHVZmBVEQFjABegQIBRAD&url=http%3A%2F%2Fstaff.ustc.edu.cn%2F~wangzuoq%2FCourses%2F18F-Manifolds%2FNotes%2FLec10.pdf&usg=AOvVaw0pgVK8LQ8S1TMtciv8gnA3