【九州帝國大學】三角関数の逆関数の積分【戦前入試問題】

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公開日: 2021年4月25日

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ℹ️ 林俊介のプロフィール
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・栄東中→筑駒高→東大理一→東大物理学科卒
・東大二次の数学で 9 割獲得し現役合格
・2014年 日本物理オリンピック金賞
・2014年 東大実戦模試物理1位

ℹ️ ご注意いただきたいこと
・解説は林俊介独自のもので，大学公式のものではありません。
・書籍等の紹介には Amazon アソシエイトリンクを用います。

今回は，大正14年の九州帝國大學工学部の問題。
sin の逆関数 arcsin が登場する不定積分です。
現代の大学入試と異なり，当時の大学入試では三角関数の逆関数も試験範囲だったようですね（そもそも学制が異なるので一概に比較はできませんが）。
逆関数の積分になると手が止まってしまう人も多いですが，今回は変数変換（置換積分）して 2 倍角の公式を使うことで，逆関数が登場しない形にまとめることができます。
いつも積分計算の方法が一瞬でわかるわけではないので，色々変数変換したり式変形したりして，手探りで解法を考える習慣をつけておきましょう。

動画の最後にも話していますが，単なる arcsin, arccos, arctan の積分も各自で考えてみてください！

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＜目次＞
00:00 大正14年 (1925年) の九大入試
00:18 (arcsin) arcsin とはどういう関数か
02:47 (arcsin) 置換して arcsin を消す
04:31 (arcsin) 部分積分で y*sin2y の積分実行
06:13 (arcsin) y の式を x の式に直す
08:56 (arcsin) まとめと補足
09:55 (arccos) arccos とはどういう関数か
10:52 (arccos) 置換して arccos を消す
11:46 (arccos) 部分積分で積分実行
12:50 (arccos) y の式を x の式に直す
14:30 (arccos) まとめと補足
16:46 (arctan) arctan とはどういう関数か
19:00 (arctan) 置換して arctan を消す
19:51 (arctan) 部分積分で積分実行
25:11 (arctan) まとめと補足
26:18 今回の積分結果のまとめ
28:25 おわりに