【京大2021】ちょっと珍しい問題構成！証明問題 × 2【整数・微分法】

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公開日: 2021年3月10日

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ℹ️ 林俊介のプロフィール
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・栄東中→筑駒高→東大理一→東大物理学科卒
・東大二次の数学で 9 割獲得し現役合格
・2014年日本物理オリンピック金賞
・2014年東大実戦模試物理1位

ℹ️ ご注意いただきたいこと
・解説は林俊介独自のもので，大学公式のものではありません。
・書籍等の紹介には Amazon アソシエイトリンクを用います。

第 6 問にしては珍しく，無関係な証明問題 2 問で構成されています。
問 1 は整数の証明。因数分解の公式を注意深く観察すると，一般的に " n 乗 − n 乗"の形は因数分解が可能であることがわかり，この問題でもそれを利用します。

問 2 はグラフの接線に関する証明。教科書や問題集であまり見ないタイプの問題なので，実際の試験で完答できた人は少ないのではないでしょうか。
条件式の図形的なイメージを思い描いて，そこから証明の着想を得ることになります。
平均値の定理を用いることでスッキリ解決します。
面白い問題でしたね。

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＜目次＞
00:00 今回は 2021 京大理系数学 [6]
00:14 問 1 因数分解の公式を思い出す
02:16 問 1 対偶を証明する方がやりやすい (かも)
03:09 問 1 n が合成数 → n = pq と書ける
04:18 問 1 3^p = A, 3^q = B とおき因数分解
05:33 問 1 積の構成要素は 2 以上
08:36 問 1 のまとめ
09:06 問 2 問題紹介
09:33 問 2 条件式の意味をスケッチ
13:04 問 2 接線の方程式の一般形
14:29 問 2 f(x)/x を考える
16:25 問 2 平均値の定理を利用
17:25 問 2 のまとめ
18:46 おわりに