【東京帝國大學】物理学科の難問！log1.5 の近似値は？【戦前入試問題】

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公開日: 2021年5月05日

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ℹ️ 林俊介のプロフィール
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・栄東中→筑駒高→東大理一→東大物理学科卒
・東大二次の数学で 9 割獲得し現役合格
・2014年日本物理オリンピック金賞
・2014年東大実戦模試物理1位

ℹ️ ご注意いただきたいこと
・解説は林俊介独自のもので，大学公式のものではありません。
・書籍等の紹介には Amazon アソシエイトリンクを用います。

今回は，大正10年（1921年）の東大入試をピックアップ。
ちょうど100年前の入試問題ですね。
log 1.5 の値を小数第三位まで決定する問題です。

Taylor の定理や Taylor 展開については高校数学の範囲外なので，今回はそれらを所与のものとせずに計算をしていきます。
log (1+x) という関数を x の（無限に続く）多項式で表現すると言うのがポイントで，結果として Taylor 展開と似たようなことをやることになりますね。

ただ，log (1+x) だと収束が遅いので，後半でちょっと工夫をしています。
同じ値を求めようとしているのに，計算に用いる無限級数を変えるだけで収束スピードが大きく変わるのは非常に興味深いですね！
Taylor の定理については，別の動画またはシリーズとしてちゃんと扱う予定です。

★訂正：おおよそ 39:20 以降の展開形の導出で，途中から積分の係数 2 を書き忘れています。ごめんなさい。

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＜目次＞
00:00 大正10年 (1921年) の東大入試
00:17 注意点と方針
03:49 log (1+x) を積分で表現し分解
09:43 展開形の予想とその簡単な証明
15:38 展開式を用いた近似 (n=4)
22:20 n をどれくらい大きくすべきか
25:37 展開式を用いた近似 (n=8)
28:40 解法のまとめ
31:14 n = 8 は計算がかなり大変
32:10 収束を速めるにはどうするか
35:56 log((1+x)/(1-x)) の展開形の予想
40:52 n をどれくらい大きくすべきか
44:41 展開式を用いた近似 (n=2)
46:25 改良版の解法のまとめ
48:27 おわりに