【東大1991】"任意の" "ある" ってどういうこと？【図形と式・整数】

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公開日: 2021年6月28日

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ℹ️ 林俊介のプロフィール
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・栄東中→筑駒高→東大理一→東大物理学科卒
・東大二次の数学で 9 割獲得し現役合格
・2014年 日本物理オリンピック金賞
・2014年 東大実戦模試物理1位

ℹ️ ご注意いただきたいこと
・解説は林俊介独自のもので，大学公式のものではありません。
・書籍等の紹介には Amazon アソシエイトリンクを用います。

今回は，1991年の東大理系数学[5]より，「図形と式」や「整数の性質」関連の問題をピックアップ。
この問題には，「任意の」「ある」「〜が存在する」といった表現が登場します。
それらの意味をよく理解していないと，正しい答案が書けない問題です。
答えの数値を出すだけであれば大して難しくはないのですが，単に三平方の定理の式を立てて答えの数値を出すだけでは，ほとんど点数はもらえないことでしょう。

r がその値以上であれば，本当に任意の直線が円と共有点をもつのか。
r がその値未満であれば，円と共有点をもたないようなうまい直線が本当に存在するのか。
それらについてちゃんと記述する必要があります。

今回の動画では，「任意の」「ある」といった表現の意味も含め，かなり丁寧に解説しました。
こうした数学的表現に慣れている人はくどいと感じることでしょうが，不慣れな人にとってはこれくらい強調した方が理解しやすいと判断しました。

※動画の途中でも紹介しましたが，興味のある人は次の事実を証明してみてください。
p, q を互いに素な正の整数とする。このとき，任意の整数 k に対しある整数 m, n が存在し，pm + qn = k が成り立つ。

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＜目次＞
00:00 1991年 東大 理系数学 [5]
00:46 問題の概要
06:52 格子点と直線の距離
09:12 距離 dp と共有点の有無
11:38 m, n は自由に決められる
13:02 問題の書き換え
15:42 dp の分子を小さくする
22:46 Δp が最大になるとき
26:06 必ず dp ≤ 1/(2√29) とできる
27:56 答えとまとめ