【京大1998】図形を数式で処理する方法【図形の性質・不等式】

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公開日: 2021年5月29日

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ℹ️ 林俊介のプロフィール
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・栄東中→筑駒高→東大理一→東大物理学科卒
・東大二次の数学で 9 割獲得し現役合格
・2014年 日本物理オリンピック金賞
・2014年 東大実戦模試物理1位

ℹ️ ご注意いただきたいこと
・解説は林俊介独自のもので，大学公式のものではありません。
・書籍等の紹介には Amazon アソシエイトリンクを用います。

今回は，1998年の京大文理共通問題より，直角三角形とその内接円に関する問題をピックアップ。
長さの和に関する条件があるときの，直角三角形の面積の最大値を問われています。

一見大したことのない問題に見えますが，こういう図形の問題を数式で処理するときは
▶︎ 三角形の成立条件
▶︎ 三平方の定理
▶︎ 負の長さが存在しない
など，様々な「見えない条件」があるので，注意深く計算をする必要があります。

実際，今回の直角三角形の面積は，内接円の半径 r の二次式になるのですが，単に平方完成するだけではその最大値を求めることができません。
上述の条件を余さず立式して，r の範囲（定義域）を明らかにする必要があるのです。
「なんとなく」で解いたり値を出したりするだけなら簡単ですが，しっかり記述しようとするとそれなりに大変な問題です。
だからこそ差がつきやすいので，記述練習はしっかり行いましょう！

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＜目次＞
00:00 1998年 京都大学 文系[1] 理系[1]
00:33 (1) 問題の様子を図示
01:20 (1) 長さの条件式を立てる
05:46 (1) 答えと解法のまとめ
06:55 (2) △ABC の面積計算
09:42 (2) 平方完成するだけは NG
10:39 (2) 図形の成立条件を調べる
14:17 (2) 条件式の整理
18:24 (2) 条件式を r について解く
20:18 (2) S(r) の最大値を求める
21:32 (2) 答えと解法のまとめ
24:13 (2) 別解に思い至るまでの発想
26:23 (2) (相加平均) ≧ (相乗平均)
26:55 (2) 等号が成立するとき
29:23 (2) 別解のまとめ
31:06 おわりに