【京大1997】必要性と十分性を意識して軌跡問題を攻略【図形と方程式】

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公開日: 2021年5月31日

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・栄東中→筑駒高→東大理一→東大物理学科卒
・東大二次の数学で 9 割獲得し現役合格
・2014年 日本物理オリンピック金賞
・2014年 東大実戦模試物理1位

ℹ️ ご注意いただきたいこと
・解説は林俊介独自のもので，大学公式のものではありません。
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今回は，1997年の京大文理共通問題より，軌跡に関する問題をピックアップ。
条件を満たす点 Q の軌跡を求めるというものです。
軌跡や通過領域は，多くの受験生が苦手とする分野の 1 つでしょう。
特に必要性・十分性あたりの確認が難しいです。

ただし，この問題については (1) (2) の 2 段階に分かれているので，その辺りの論理は意識しやすくなっています。
まず (1) を解くことにより，s = AP によらず t = OQ = 2 が成り立つことがいえます。
点 Q は，原点を中心とする半径 2 の円 C' 上にあるということですね。これが必要条件です。
あくまで円 C' 上にある「必要がある」というだけで，円 C' 全てが点 Q の軌跡になるというわけではありません。

そこで (2) では，C' のうちどの部分が点 Q の軌跡になるのかを調べていきます。
線分 AQ と円 C が共有点をもてば，その点のうち 1 つを点 P とすればよいので，十分性が満たされます。
線分 AQ と円 C が共有点を持たないような位置だと点 P をとることができないため，その点 Q は答えには入らないことになりますね。

軌跡や通過領域の問題では，このように必要性・十分性の双方を意識するのが大切です。

なお，実戦的には様々な解き方をする人がいると思うので，今回は別解を複数紹介してみました。
色々な解法を扱えるようにしておくと，どんな問題にも柔軟に対応できるようになります。

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＜目次＞
00:00 1997年 京大 文系[1] 理系[1]
00:39 問題の状況を図示
02:03 (1) 解法1 余弦定理を用いるもの
06:57 (1) 解法2 方べきの定理を用いるもの
12:26 (1) 解法3 P(cosθ, sinθ) と表すもの
20:06 (2) 方針：十分性に注意
22:55 (2) 接線を引きその間を答えとする
26:29 (2) 別解：Q の x 座標を θ で表す
29:01 (2) 解法のまとめ
29:24 (2) おわりに