【東北帝國大學】探究編！本当に入試に出た積分の難問【戦前入試問題】

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公開日: 2021年6月09日

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ℹ️ 林俊介のプロフィール
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・栄東中→筑駒高→東大理一→東大物理学科卒
・東大二次の数学で 9 割獲得し現役合格
・2014年 日本物理オリンピック金賞
・2014年 東大実戦模試物理1位

ℹ️ ご注意いただきたいこと
・解説は林俊介独自のもので，大学公式のものではありません。
・書籍等の紹介には Amazon アソシエイトリンクを用います。

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前回同様，今回も前の動画で扱った積分問題の探究編です。
この積分は広義積分であるため，まずは収束判定をする必要があります。
前の動画では sinx ≥ 2x/π (0 ≤ x ≤ π/2) という関係を用いて積分を下から評価しました。
今回はその復習に加え，広義積分が絶対収束することの別の判定法とその証明を紹介します。

収束性の議論が済んだら，前の動画でも紹介した対称性や 2 倍角の公式を利用する計算方法を復習したのち，複素積分を利用した計算についても簡単に触れます。
このチャンネルで複素積分が登場するのは初めてですし，そもそも明らかに高校数学の範囲外ではあるのですが，このチャンネルを見ている人には理系大学生も多いですし，意欲ある高校生にとっては面白いと思って紹介した次第です。
受験生は，今すぐ理解できる必要は全くありません。へー，そういう方法もあるんだ，くらいに思ってもらえれば OK です。

今回は全体的にハイレベルな内容が多いですが，高校数学を一通り勉強し終わった人からすると面白いのではないでしょうか。
今後も，帝國大学入試問題解説シリーズは，面白い問題を発見したら不定期でやっていく予定です。

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＜目次＞
00:00 昭和9年 (1934年) の東北大入試
01:54 収束証明① 2x/π ≤ sinx を利用
08:30 絶対収束に関する定理とその証明
12:41 収束証明②-1 l'Hôpital の定理を使う
17:58 収束証明②-2 l'Hôpital の定理を使わない
21:18 計算方法① 対称性・2 倍角を利用
30:42 計算方法② 複素積分を利用
41:52 log(sinx) のグラフ
43:23 今回のまとめ
44:42 おわりに