【５人しか受からない超難関入試】京大 2020年度 特色入試 [4]【空間図形】

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公開日: 2021年4月09日

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ℹ️ 林俊介のプロフィール
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・栄東中→筑駒高→東大理一→東大物理学科卒
・東大二次の数学で 9 割獲得し現役合格
・2014年 日本物理オリンピック金賞
・2014年 東大実戦模試物理1位

ℹ️ ご注意いただきたいこと
・解説は林俊介独自のもので，大学公式のものではありません。
・書籍等の紹介には Amazon アソシエイトリンクを用います。

京大には一般入試だけでなく「特色入試」というものがあります。
この入試は，数学が特に優秀な受験生を対象としています。
一般入試と異なり，たった 5 名しか合格しない狭き門です。
当然問題も超ハイレベル。日本の大学入試数学の中でもトップレベルに難しいですね。

今回は，2020年度京大特色入試（理学部，数理科学入試）の第 4 問を解説していきます。
四面体の表面および内部に 3 つの点をとったときに，それらがなす三角形の面積が，四面体の 4 つの面のうち最大のものの面積を超えないことを証明する問題。
性質自体は，少なくとも感覚的には当たり前のものです。
しかし，これを筋道立てて証明するのは結構難しいです。

こういう自由度が極端に高い問題では，ベクトルなどを用いて定量的に処理しようとすると却って失敗するパターンが多いです。
まずは定性的な思考で，「三角形の面積が最大になりえない」パターンを排除するのが効率的です。

途中で登場する，垂線の長さの大小関係についての性質が，今回の問題での重要定理です。
簡単にいうと，下に凸である 2 次関数で定義域に閉区間の制限を加えたときに，最大値をとるのは両端のどちらかである，ということです。
これをちゃんと証明して，それをたくさん使えば証明することができます。

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＜目次＞
00:00 今回は 2020年度 京大特色入試 [4]
00:41 主張の確認と方針
06:48 (i) 断面が三角形の場合
19:41 (i) 重要な補題とその証明
35:18 (i) 補題を活用して証明
41:17 (ii) 断面が四角形の場合
43:45 (ii) 内部に P, Q, R はない
49:27 (ii) P, Q, R の位置関係で分類
59:46 (ii) △EFG と最大面の比較
66:57 [4] のまとめ
71:21 おわりに