【５人しか受からない超難関入試】京大 2020年度 特色入試 [3]【整式】

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公開日: 2021年4月07日

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ℹ️ 林俊介のプロフィール
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・栄東中→筑駒高→東大理一→東大物理学科卒
・東大二次の数学で 9 割獲得し現役合格
・2014年 日本物理オリンピック金賞
・2014年 東大実戦模試物理1位

ℹ️ ご注意いただきたいこと
・解説は林俊介独自のもので，大学公式のものではありません。
・書籍等の紹介には Amazon アソシエイトリンクを用います。

京大には一般入試だけでなく「特色入試」というものがあります。
この入試は，数学が特に優秀な受験生を対象としています。
一般入試と異なり，たった 5 名しか合格しない狭き門です。
当然問題も超ハイレベル。日本の大学入試数学の中でもトップレベルに難しいですね。

今回は，2020年度京大特色入試（理学部，数理科学入試）の第 3 問を解説していきます。
テーマは整式。次数の大小関係が有る 2 つの整式 fx), g(x) についての不等式を証明するのが目標です。
証明せよと言われている事実は，感覚的にはごく当たり前のこと。
でも，大真面目に（論理的に，厳密に）証明しようとするととても大変です。
特に，「整式において |x| を大きくすれば，最高次数の値を残りの値に比べて十分小さくできる」という性質の証明が山場ですね。

高校数学ではあまり見ないタイプの証明問題ですが，大学教養レベルの数学の雰囲気を体感できます。
数学に自信のある人は，ぜひチャレンジしてみてください！

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＜目次＞
00:00 今回は 2020年度 京大特色入試 [3]
01:21 (1) 不等式の意味をイメージする
05:10 (1) (i) k = 0 のとき
06:12 (1) (ii) k ≥ 1 のとき
16:50 (1) のポイント：因数分解→約分
18:15 (2) 主張の意味をイメージする
20:14 (2) (1) の結果をどう利用するか
28:12 (2) 整式の係数を文字でおく
37:09 (2) f(x) についての補題と証明
50:46 (2) g(x) についての補題と証明
63:44 (2) 2 つの補題をどう利用するか
71:21 (2) 多くの x で g(x) が整数になる
83:22 (2) の終盤のまとめ
85:22 おわりに：証明を学ぶということ