【５人しか受からない超難関入試】京大 2020年度 特色入試 [1]【微分・極限】

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公開日: 2021年3月26日

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ℹ️ 林俊介のプロフィール
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・栄東中→筑駒高→東大理一→東大物理学科卒
・東大二次の数学で 9 割獲得し現役合格
・2014年 日本物理オリンピック金賞
・2014年 東大実戦模試物理1位

ℹ️ ご注意いただきたいこと
・解説は林俊介独自のもので，大学公式のものではありません。
・書籍等の紹介には Amazon アソシエイトリンクを用います。

京大には一般入試だけでなく「特色入試」というものがあります。
この入試は，数学が特に優秀な受験生を対象としています。
一般入試と異なり，たった 5 名しか合格しない狭き門です。
当然問題も超ハイレベル。日本の大学入試数学の中でもトップレベルに難しいですね。

今回は，2020年度京大特色入試（理学部，数理科学入試）の第 1 問を解説していきます。

第 1 問は，微分や極限に関する問題。
(1) はかなり簡単ですが，(2) からが難しいですね。
関数の漸化式について予想を立てて証明することで，数列 a[n] の漸化式がわかります。
それをもとに a[n] の一般項を求めるという流れです。
(3) では，まず無限和を和の記号で書き下し，最初の数項以外は「大したことない」ことを示します。
小数第一位まで求めればいいので，最初の 3, 4 項だけとれば OK です。
なお，(3) の無限和は厳密な値を計算することもできます。
動画の最後で少し紹介しているので，興味のある人はそれについても調べてみてください！

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＜目次＞
00:00 今回は 2020年度 京大特色入試 [1]
01:20 (1) 条件式を微分して証明
10:47 (1) のまとめ
11:42 (2) 最初の数項を求めてみる
19:26 (2) これまでに得られたもののまとめ
21:40 (2) 予想を数学的帰納法で証明
24:47 (2) a[n] の漸化式 → 一般項
30:01 (2) のまとめ
31:21 (3) 無限和を計算しやすい形に変形
37:30 (3) 最初の数項を求める
40:28 (3) 残りの項をどう評価するか
45:54 (3) のまとめ
48:34 補足：(3) の正確な値について
49:41 おわりに