【東北帝國大學】本当に入試に出た積分の難問②【戦前入試問題】

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公開日: 2021年6月02日

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ℹ️ 林俊介のプロフィール
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・栄東中→筑駒高→東大理一→東大物理学科卒
・東大二次の数学で 9 割獲得し現役合格
・2014年 日本物理オリンピック金賞
・2014年 東大実戦模試物理1位

ℹ️ ご注意いただきたいこと
・解説は林俊介独自のもので，大学公式のものではありません。
・書籍等の紹介には Amazon アソシエイトリンクを用います。

前回に引き続き，昭和9年の東北大学の入試より積分の問題をピックアップ。
前回のも難しかったですが，今回はさらに難易度が上がっています。
誰かが勝手に作ったマニアックな問題というわけではなく，実際に国立大学の入試で出題されたというのですから驚きです。

そもそもこれは広義積分になっているので，まずは収束性から証明する必要があります。
log の中身が x であれば評価しやすいのですが，中身は残念ながら sin 。
そこで，無理矢理 x での評価に持ち込むために，0 ≤ x ≤ π/2 で成り立つ不等式 (2x)π ≤ sinx を用います。
これにより，つまるところ x → 0 での xlogx の収束を示せばいいことになりますね。
その証明もそこまで簡単ではないのですが，動画では二項定理を用いて示しています。

収束性が示せたら，あとは積分区間を広げたり sinx = 2sin(x/2)cos(x/2) としたりして積分を変形し，対称性を利用して答えを出していきます。
三角関数自体の積分計算をせずに答えが出てしまうのが面白いところです。
高校数学の範囲で原始関数を書き下すことはできないのですが，定積分の値は出てきます。なんとも不思議な問題ですね。

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＜目次＞
00:00 昭和9年 (1934年) の東北大入試
00:41 広義積分→収束性の議論が必要
01:59 log(ax) で下から評価したい
05:43 2x/π ≤ sinx の証明
08:02 収束性の証明
13:52 0〜π の積分に変形
15:40 2 倍角 → log の和にする
16:39 積分 J1, J2 の計算
19:28 答えと解法のまとめ
22:58 おわりに