【東京帝國大學】シンプルだけど面倒な積分問題【戦前入試問題】

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公開日: 2021年4月18日

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今回は大正11年の工学部の問題。
不定積分の計算問題 2 つで構成されています。

A の方は，数学 III の計算練習の定番問題ですね。
部分積分を繰り返して攻略していきましょう。
難易度こそ低いものの，指数関数が e^x ではなく a^x になっているので，計算結果の見た目はやや煩雑になります。

B もシンプルな見た目ながら結構計算が面倒です。
b の符号によりだいぶ具合が違うので，場合分けして計算していきます。
b が正のときと負のときで，結果の式が違うものの，やっぱりある程度似ているというのが面白いところですね！
※ b が正のときの計算途中で，log( √x - √b ) というものが登場していますが，これは log|√x - √b| が正しいです。訂正いたします。
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【プロフィール】
林俊介（はやししゅんすけ）
オンライン家庭教師を運営する会社の社長。
大学の講師もやっています。

2015年筑波大学附属駒場高等学校卒
2015年東京大学理科一類入学
2019年東京大学理学部物理学科卒

・2014年日本物理オリンピック金賞
・2014年東大実戦模試物理1位
・東大入試本番では数学で 9 割を獲得
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＜目次＞
00:00 大正11年 (1922年) の東大入試
00:30 A 部分積分のおさらい
02:36 A 部分積分の使い方
03:37 A 計算続き＆部分積分をもう一度
06:12 A のまとめ
06:45 B (i) b = 0 の場合（簡単）
08:12 B b ≠ 0 の場合
10:33 B (ii) b が正の場合
11:11 B 部分分数分解
12:30 B 積分実行（コメ訂正あり）
15:08 B (ii) b が負の場合
16:07 B arctan の微分公式を利用
19:49 B のまとめ
21:39 おわりに