【京大2011】空間図形と最大値・最小値【方程式・値域】

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公開日: 2021年8月24日

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ℹ️ 林俊介のプロフィール
https://hayashishunsuke.com/profile/
・栄東中→筑駒高→東大理一→東大物理学科卒
・東大二次の数学で 9 割獲得し現役合格
・2014年日本物理オリンピック金賞
・2014年東大実戦模試物理1位

ℹ️ ご注意いただきたいこと
・解説は林俊介独自のもので，大学公式のものではありません。
・書籍等の紹介には Amazon アソシエイトリンクを用います。

★訂正：
29:57 の sinθ の係数は，いずれも 1/√3 が正しいです！

2011年の京大理系数学より，空間内での関数の最大値・最小値に関する問題です。
原点を中心とした球面 S と平面 α の交線上の点 (x, y, z) を考え，xyz の最大値・最小値を求めます。

動画では 2 つの解法を扱っています。
1 つ目の解法 (3 次方程式の解に着目するもの) がスタンダードです。
難関大の受験生は必ずできるようにしておきたいところ。
2 つ目の解法は，ベクトルを用いて交線 (上) の点の座標を媒介変数表示するというものです。
新鮮に感じる人も多いと思いますが，やっていることは意外にシンプルですし，個人的にはこちらの解法の方が好みです。
興味があったら後者も勉強しておいてください。

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＜目次＞
00:00 2011年京大理系数学 [5]
00:49 2 つの解法で攻略
01:05 解法①：共有点の存在
05:05 解法①：p (= xyz) がみたす条件
06:28 解法①：条件式の書き換え
11:49 解法①：f(t) = p が 3 実解をもつ
18:31 解法① のまとめ
21:04 解法②：空間ベクトルを利用するもの
23:14 解法②：2 つの単位ベクトル
25:12 解法②：円上の点の座標を求める
30:05 解法②：xyz を cosθ の関数とみる
32:16 解法②：関数 g(α) の min, max
33:34 解法② のまとめ
34:58 補足：α の範囲
36:39 2 つの解法についてのコメント
37:35 学習者へのアドバイス
38:19 おわりに