【東大1997】正三角形が正方形に収まる条件【方程式・領域】

高評価: 174件

再生: 9,236回

公開日: 2021年8月05日

⭐️ 毎月定額で林に何回でも質問できる "おしえmath"
無料で 1 回質問体験ができます！
https://oshiemath.com/

⭐️ 林の直接指導が受けられる数学専門塾 "林数学教室"
体験授業 & 面談にぜひお越しください！
https://hayashi-math.com/

✅ 難関大受験生のための公式LINE：https://lin.ee/lI7n1SJ
登録者特典＆受験生向けライブあり

ℹ️ 林俊介のプロフィール
https://hayashishunsuke.com/profile/
・栄東中→筑駒高→東大理一→東大物理学科卒
・東大二次の数学で 9 割獲得し現役合格
・2014年 日本物理オリンピック金賞
・2014年 東大実戦模試物理1位

ℹ️ ご注意いただきたいこと
・解説は林俊介独自のもので，大学公式のものではありません。
・書籍等の紹介には Amazon アソシエイトリンクを用います。

1997年の東大文理共通問題より，座標平面上の正三角形の問題をピックアップ。
(1) では，点 A(a, 0) と点 B(0, b) を 2 つの頂点とする正三角形が，正方形領域 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 に収まるための a, b の条件を求めます。
(2) では，(a, b) が (1) の範囲を動くときの正三角形の面積の最大値を求めます。

極端に難しい計算や飛躍的な発想は必要としないシンプルな問題です。
ただし，(1) でもう 1 つの頂点 C の座標を求めるときに，方針によっては計算量がかなり多くなってしまいます。
AC = BC を三平方の定理で立式してしまうと大変なので，素朴に三角関数を用いるのがよいでしょう。

(2) では，ab 平面での原点からの最遠点を求めることになりますが，「当たり前」と思われる内容をどこまで丁寧に記述するか悩ましいところです。
動画では，だいぶ丁寧に説明しています。

実際の入試では，文理問わずこれくらいの問題は正解したいところですね！

----------
＜目次＞
00:00 1997年 東大 文系[2] 理系[1] (文理共通)
00:58 頂点 C は 2 通り考えられる
04:10 (1) C の座標の求め方：よくない方法
08:13 (1) C の座標の求め方①：加法定理
13:38 (1) C の座標の求め方②：回転行列
17:32 (1) △ABC が D に入る条件
21:07 (1) 答えの領域の図示
25:55 (1) 答えと解法のまとめ
28:11 (2) a^2 + b^2 は原点からの距離
30:59 (2) 内部や線分の途中は除外
37:32 (2) OP, OQ, OR の比較
39:07 (2) 答えと解法のまとめ
41:16 (2) 答えの妥当性のチェック
45:32 学習者へのアドバイス
46:40 おわりに