【京大1993】三角関数の値域制限は，定番手法＆場合分けで攻略【不等式・領域】

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公開日: 2021年7月23日

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ℹ️ 林俊介のプロフィール
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・栄東中→筑駒高→東大理一→東大物理学科卒
・東大二次の数学で 9 割獲得し現役合格
・2014年 日本物理オリンピック金賞
・2014年 東大実戦模試物理1位

ℹ️ ご注意いただきたいこと
・解説は林俊介独自のもので，大学公式のものではありません。
・書籍等の紹介には Amazon アソシエイトリンクを用います。

1993年の京大入試より，三角関数の値域に関する問題をピックアップ。
cos2x や cosx が係数つきで足し算されており，これが -6 以上 6 以下の値をとるような (a, b) の範囲を図示する問題です。

三角関数の値域を考えるときに，2 倍角の公式を利用して cosx についての 2 次関数にするというのは定番のテクニックですね。
今回もそれを利用します。
結局，2 次関数の値域が -6 以上 6 以下になればよいわけですが，最大点・最小点がどこか，に応じて場合分けする必要があるというのが面倒なところですね。
最大値の場合分けと最小値の場合分けでは，境目となる値が異なることにも注意が必要です。

とはいえ，結局問題の要は 2 次関数の最大値・最小値ですから，三角関数あたりの話を除けば高校 1 年生でも解けます。
京大入試といえど，基礎的な操作をいかに徹底できるかが大事ということですね。

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＜目次＞
00:00 1993年 京大 文系数学 [1]
00:41 方針：2 倍角で cosx の多項式に
02:12 2 次関数の最大値・最小値問題になる
04:29 2 次関数の平方完成と場合分け
05:18 [1] 最大値：場合分けの基準
06:30 [1] 各場合の最大値の計算
09:14 [1] 最大値：まとめ
10:00 [2] 最小値：場合分けの基準
12:28 [2] 各場合の最小値の計算
15:44 [2] 最小値：まとめ
16:56 条件式のまとめ
17:45 条件式の図示
22:33 答えと解法のまとめ
24:11 よりシンプルな別解
26:24 学習者へのアドバイス
27:43 おわりに