【東京工業大學】根号を含む分数関数の積分【戦前入試問題】

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公開日: 2021年5月07日

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ℹ️ 林俊介のプロフィール
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・栄東中→筑駒高→東大理一→東大物理学科卒
・東大二次の数学で 9 割獲得し現役合格
・2014年 日本物理オリンピック金賞
・2014年 東大実戦模試物理1位

ℹ️ ご注意いただきたいこと
・解説は林俊介独自のもので，大学公式のものではありません。
・書籍等の紹介には Amazon アソシエイトリンクを用います。

今回は，昭和7年（1932年）の東京工業大学の入試問題。
根号を含む分数関数の不定積分をする問題です。

分母にある根号をどうにかして外していきます。
この形の根号を外すためには，「 2 乗の和が常に 1 になるようなモノ」を用意する必要があり，だからこそ三角関数が登場するわけですね。
数学III の積分の定番テクニックなので，ぜひ覚えておいてください！

ただ，√(C - x^2) の形が登場したときにいつも sinθ を用いて置換をするのがベスト，というわけではないのが難しいところ。
動画の後半で扱っている類題は，sin による置換よりも簡単な方法があるようなものをあえて選んでみました。

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＜目次＞
00:00 昭和7年 (1932年) の東工大入試
00:39 根号を外すのがカギ
04:13 x = sinθ と置換
06:04 定積分 I(φ) を計算
07:51 φ → π/2 - 0 の極限を計算
08:44 解法のまとめ
11:03 類題：同じ形の根号を含む積分
13:25 類題：x = asinθ と置換
17:12 類題：(sinθ)^3 の積分計算
18:52 類題：y を θ 経由で x に直す
21:05 類題：解法のまとめ
23:46 類題：別解がある
24:08 類題：別解① x^2 = y
25:23 類題：別解② 分母を z とおく
28:17 類題：一辺倒に置換しない
30:27 おわりに