【京都帝國大學】面積最大の内接三角形は？【戦前入試問題】

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公開日: 2021年5月01日

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・栄東中→筑駒高→東大理一→東大物理学科卒
・東大二次の数学で 9 割獲得し現役合格
・2014年日本物理オリンピック金賞
・2014年東大実戦模試物理1位

ℹ️ ご注意いただきたいこと
・解説は林俊介独自のもので，大学公式のものではありません。
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今回は，大正14年の京都帝國大學工学部の入試問題。
「与えられた円に内接する三角形のうち面積最大のものは正三角形である」という事実を証明していきます。
京都大学の入試では，今回のような「図形に関する自由度の高い証明問題」が時折出題されます。
こうした問題では，座標や長さ・角度等をいきなり全て文字でおくと失敗しやすいです。（変数の数が非常に多くなるので。）
まず定性的な考察によって自由度を減らし，単純化してから必要な箇所を文字でおくのがポイントです。

証明すべき事実や証明のプロセス自体は難しくないのですが，証明の方針を立てたり文字のセッティングをしたりするところで差がつきやすい問題だと思います。

★訂正
角度 β が 180° より大きいときは，△PQR の面積の表式が変わりますね。ごめんなさい💦
今回の場合，まず面積が最大になる β の値を求めてから △PQR の面積を α で表すべきでした。
そうすれば必ず β は 180° より大きくなるので，今回の式で問題ありません。
ご指摘くださった方，ありがとうございます！

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＜目次＞
00:00 大正14年 (1925年) の京大入試
00:20 スケール（円の半径）は無関係
01:50 減らせる自由度について
03:08 頂点の 1 つを固定する
05:05 残りの 2 頂点の順番を固定する
07:39 △PQR の面積を求める
11:13 面積最大化の方針は 2 つある
12:59 ① 図形的に考え高さを最大化
16:59 ② S(α, β) を β で微分する
23:20 ①, ② の比較（コメント）
25:39 α を固定したときの S の最大値
27:33 S+(α) を微分して極値を調べる
32:03 S が最大になるとき（答え）
33:13 補足（面積の最大値）
35:38 解法のまとめ
39:49 おわりに