【京大2000】文系の難問！整数と平面図形の融合問題【整数の性質】

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公開日: 2021年5月27日

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ℹ️ 林俊介のプロフィール
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・栄東中→筑駒高→東大理一→東大物理学科卒
・東大二次の数学で 9 割獲得し現役合格
・2014年 日本物理オリンピック金賞
・2014年 東大実戦模試物理1位

ℹ️ ご注意いただきたいこと
・解説は林俊介独自のもので，大学公式のものではありません。
・書籍等の紹介には Amazon アソシエイトリンクを用います。

今回は，2000年度の京大文系入試より，整数と平面図形の融合問題をピックアップ。
3 辺の長さが 2 以上の整数 p, q を用いて書かれた三角形があり，条件 (イ) (ロ) (ハ) から 3 辺の長さを決定します。

(1) では 3 つの角度の大小関係を決定します。
三角形の辺の長さの大小関係と対角の大きさの大小関係は一致するので，それを使えば一瞬で結論が出ますね。
ただ，その大小関係の一致自体はそこまで自明でもない気がするので，動画ではその証明方法を 2 つご紹介します。

(2) では，まず (1) の結果を用いてどの角度が 60º なのかを決定します。
それが済んだら，早速余弦定理を用いて p, q の条件式を導きます。
p, q についての 3 次の方程式なので，どのように解けばいいか難しいですね。
この動画では，この方程式が pq と p-q の式で書けることに着目し，それらを別の文字でおいて解いています。
整数の方程式は，その次数や形によって最適な解法が変わってくるのが難しいところで，かつ面白いところですね。

結局，(イ) (ロ) (ハ) の 3 条件だけから 3 辺の長さはただ 1 通りに決まります。
出てくる三角形は，「図形と計量」の分野などでよく見るやつですね。最後はスッキリ解決します！

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＜目次＞
00:00 2000年 京大 文系数学 [4]
00:49 (1) 角の大小と辺の大小は一致
02:36 (1) 証明1: 図形的な方法
07:19 (1) 証明2: 数式による証明
15:01 (1) 3 つの角の大小関係
16:54 (1) 解法のまとめ
18:11 (2) どの角が 60º なのか
20:42 (2) 余弦定理を使う
24:29 (2) p, q の方程式をどう解くか
27:19 (2) pq = N, p-q = Δ とおく
29:04 (2)(i) Δ = -1 のとき
37:32 (2)(ii) Δ ≠ -1 のとき
40:51 答えと解法のまとめ
45:02 おわりに