環論：有限環の単元群３
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公開日: 2020年2月04日
奇素数 p と正整数 s に対し、Z/p^sZ の単元群が巡回群であることを証明します。難しい技巧は使いませんが、
・有限体の単元群が巡回群であること
・有限環の単元群の位数（オイラーの関数）
・位数が互いに素かつ可換な２要素の積の位数
など、基本的な事柄を積み重ねる必要があります。数学日誌本館：http://blog.livedoor.jp/ron1827-algebras/archives/81257080.html
数学日誌note：https://note.com/ron1827/n/nde461a08462dTwitter： https://twitter.com/ron1827
可換環論bot： https://twitter.com/CommAlg_bot
テキスト継続講読版： https://note.com/ron1827/m/me194d9114ce7
数学日誌： http://blog.livedoor.jp/ron1827-algebras/
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環論演習
- 因子で閉じている部分環〈龍孫江の環論演習〉
- ３点集合上の函数環〈龍孫江の環論演習〉
- 既約多項式と素イデアル〈龍孫江の環論演習〉
- 千一減算〈龍孫江の環論演習〉
- 整数値をとる有理函数〈龍孫江の環論演習〉
- 行列環のイデアル〈龍孫江の環論演習〉
- /videos/137483?playlist_id=1650
- 環論：-1の平方根を添加する
- 環論：準素イデアルとイデアル商
- 環論：関係式 x^3=x について
- 環論：ただ１つの素イデアル
- 環論：準素分解と極小素因子
- 環論：有理数がなす環とイデアル
- 環論：多項式の既約性２題
- 環論：微分が消える多項式
- 環論：離散的な部分環
- 環論：Berlekampの既約分解
- 環論：フロベニウス写像の線型性
- 環論：イデアルの拡大と剰余環
- 環論：単項イデアル整域と中国剰余定理
- 環論：ガウス整数環のある部分環
- 環論：ニュートン多項式と基本対称式
- 環論：ガウス整数環とピタゴラス数
- 環論：アイゼンシュタイン整数環と素数の分解
- 環論：Fermatの２平方和定理
- 環論：アイゼンシュタイン整数環の単元群
- 環論：行列の位数とサイズ
- 環論：素因数分解の一意性
- 環論：除法の原理と素数
- 環論：多項式環の微分と導分
- 環論：正標数への帰着とEisensteinの判定法
- 環論：合同方程式２題
- 環論：基礎体の変化と多項式の分解
- 環論：有限整域の要素の数
- 環論：直積環への準同型
- 環論：永田の自己同型
- 環論：核は単項イデアルか？
- 環論：105次の円分多項式
- 環論：行列と冪とその表示
- 環論：完全列の言い換え
- 環論：環拡大の相等性
- 環論：連続函数環と極大イデアル
- 環論：可約多項式の係数
- 環論：トーシェント函数と素因数の数
- 環論：トーシェント函数との最大公約数
- 環論：互いに素な数の組を数える
- 環論：多項式版カタラン予想（MATH POWER 2022開催＆出演記念）
- 環論：多項式版abc予想（MATH POWER 2022開催＆出演記念）
- 環論：多項式版フェルマー予想（MATH POWER 2022開催・出演記念）
- 環論：オイラー函数と約数の数
- 環論：多項式の自己同型のヤコビアン
- 環論：準素ではない素イデアルの冪
- 環論：剰余環と零因子
- 環論：多項式環のイデアルの縮小
- 環論：イデアルを加群とみて
- 環論：単元群の巡回性
- 環論：回文多項式の根
- 環論：最大公約元の線型結合表示
- 環論：多項式写像の可逆性
- 環論：２項式で生成されるイデアル
- 環論：極大なイデアルは素イデアル？
- 環論：冪級数環のイデアル
- 環論：ベズー整域とPID
- 環論：付値環をつくる
- 環論：飽和積閉集合
- 環論：素数が無限に存在することの一証明
- 環論:複素数体を埋め込む
- 環論：多項式の既約性
- 環論：直積環の自己同型
- 環論：与えられたφ函数の値
- 環論：環に定まる他の演算
- 環論：ジョルダン細胞の逆行列
- 環論：準素イデアルと根基
- 環論：行列環が体となる場合
- 環論：行列の中心化環
- 環論：ガウス整数環の剰余環２
- 環論：置換多項式と次数
- 環論：ガウス整数環の剰余環
- 環論：ある行列と可換な行列の環
- 環論：環への作用と空間への作用
- 環論：多項式と冪級数
- 環論：イデアルを生成する要素の数
- 環論：ネーター性は局所的性質か？
- 環論：多項式成分の可逆行列
- 環論：準同型と準素分解の計算
- 環論：整数係数多項式と互除法
- 環論：正標数における微分の核
- 環論：部分分数分解とPID
- 環論：実数体の自己同型
- 環論：素イデアルとイデアルの積
- 環論：ある加群の自己同型
- 環論：行列表現と平方根
- 環論：２次体の整数環
- 環論：複素数体の拡大
- 環論：正則列と多項式
- 環論：３×３図式の補題
- 環論：総てのイデアルが素イデアル！？
- 環論：整拡大と極大イデアル
- 環論：整数環の整閉性
- 環論：忠実なねじれ加群
- 環論：分数体の入射性
- 環論：整従属関係式とスカラー倍写像
- 環論：Zornの補題と素イデアル
- 環論：多項式が生成する部分代数
- 環論：冪零な冪級数
- 環論：多項式環の自己準同型
- 環論：フェルマー数F_5は素数か？
- 環論：多項式の共通根
- 環論：超曲面のヒルベルト級数
- 環論：剰余環の素イデアル
- 環論：直積環の部分環
- 環論：６乗すると元に戻る環
- 環論：有限環のジャコブソン根基と単元群
- 環論：分解型複素数の環構造
- 環論：pq個の要素からなる環
- 環論：多項式の合成と既約性
- 環論：多項式環の極大イデアル
- 環論：剰余環に誘導される同型
- 環論：素分解とコロンイデアル
- 環論：加群の２回双対
- 環論：直線の合併の座標環
- 環論：多項式の根と整除関係
- 環論：単位円周の座標環
- 環論：イデアルのmodular law
- 環論：有理数体の部分環
- 環論：代数的集合と多項式関数
- 環論：加群を成分にもつ行列環
- 環論：３次対称群の群環の中心
- 環論：Z代数の剰余体
- 環論：冪零根基と素イデアル
- 環論：逆像が素イデアルとなるイデアル
- 環論：整域である剰余環の分類
- 環論：有理数体の無限生成性
- 環論：実数体上の多項式環の極大イデアル
- 環論：局所冪零導分と加法群の作用
- 環論：有限群の不変式環の有限性
- 環論：次数付環のネーター性
- （雑談編）K代数の定義は難しき ものなりと云々
- 環論：三角的導分の局所冪零性
- 環論：冪零元と乗法的性質
- 環論：多項式環の零因子
- 環論：全写像ではない全射
- 環論：多項式環への環準同型
- 環論：素イデアルの冪の交叉
- 環論：加群のSocleについて
- 環論：アルティン環のイデアル
- 環論：多項式環の素イデアル
- 環論：整数環と単項イデアル整域
- 環論：ユークリッド整域ではない整数環
- 環論：ユークリッド整域の単元群
- 環論：整数環の単元群
- 環論：単項イデアル整域となる充分条件
- 環論：単項イデアル整域のノルム
- 環論：素元ではない既約元の例
- 環論：剰余環の極大イデアル
- 環論：行列環の表示
- 環論：多項式環の単元群
- 環論：行列環の極大イデアル
- 環論：３元体上の多項式環の自己同型群
- 環論：単項式イデアルの準素分解
- 環論：単項式イデアルの根基
- 環論：単項式イデアルの交叉
- 環論：可換環内の根の数
- 環論：拡大環の素イデアル
- （特別編）環論：デデキント整域と素イデアル分解
- （特別編）環論：整閉性と離散付値環の特徴づけ
- （特別編）環論：付値環の整閉性
- （特別編）環論：UFDとDVRの交叉
- （特別編）環論：一意分解整域とｐ進付値
- 環論：素イデアルの積に表せないイデアル
- 環論：射影加群の特徴づけ
- 環論：射影加群の特徴づけ
- 環論：射影加群の特徴づけ
- 環論：短完全列の分裂
- 環論： 有限環上の射影加群
- 環論：自由加群の射影性
- 環論：ザリスキー位相の定義
- 環論：環の標数に関する注意
- 環論：イデアルが単項でない証明
- 環論：多項式環の剰余環の長さ
- 環論：イデアルの根基と積の関係
- 環論：有限環の単元群の位数４の要素
- 環論：環の直積分解と単元群
- 環論：有限環の単元群の分解
- 環論：剰余環の剰余環
- 環論：p^2個の要素をもつ環
- 環論：有限環の単元群４
- 環論：部分加群の演算と零化イデアル
- 環論：単項生成加群のテンソル積
- 環論：多項式の２乗で割り切れる条件
- 環論：テンソル積の結合律
- 環論：ローラン多項式環の極大イデアル
- 環論：テンソル積の基本的な同型
- 環論：可換環の整除関係と単項イデアル
- 環論：線型変換のなす環と両側イデアル
- （特別編）環論：テンソル積関手の構成
- （特別編）線型写像のテンソル積
- （特別編）環論：テンソル積の構成
- （特別編）環論：自由加群のテンソル積
- （特別編）テンソル積の一意性
- （特別編）双線型写像とHom加群
- 環論：２項式の既約性
- 環論：直積環の部分環とそのイデアル
- 環論：１元生成代数の自己同型群
- 環論：冪級数環の極大イデアル
- （雑談編）なぜイデアルを考えるのか？
- 環論：長さ有限の加群と線型写像
- 環論：単項イデアルの交叉について
- 環論：巡回群の群環の分解
- 環論：数値的半群環の素イデアル
- 環論：イデアルの拡大と縮小の関係
- 環論：多項式環の導分の核
- 環論：体の無限直積の極大イデアル
- 環論：コーシー列のなす環の極大イデアル
- 環論：連続関数環の極大イデアル
- 環論：２要素の冪を零化する要素
- 環論：有限生成でない部分代数
- 環論：有限次元代数の非可換性
- 環論：実数体上２次元の多元環
- 環論：２変数多項式環の順自己同型
- 群論：Dirichlet の畳み込み
- 環論：多項式の値と剰余の関係
- 環論：最大公約元と最小公倍元の関係
- 環論：有理数体の単元群
- 環論：有限環の単元群３
- 環論：有理数体のＺ自己準同型環
- 環論：整拡大と体の微妙な関係
- 環論：有限環の単元群２
- 環論：有理整数環のイデアルの演算
- 環論：射影と直和分解
- 環論：有限生成加群から自身への全射
- 環論：位数４の群の群環
- 体論：複素平面上の正多角形
- 環論：右逆元と左逆元
- 環論：有限環の単元群
- 環論：加群のイデアル化
- 環論：係数体の拡大と一意分解性
- 環論：多項式環・局所化の一意分解性
- 環論：不変式環と素イデアル分解
- 環論：四元数体の行列表現
- 環論：付値環と値群
- 環論：ＵＦＤと最小公倍元
- 環論：イニシャルイデアルとグレブナー基底
- 環論：多変数多項式の除法と所属問題
- 環論：単位的環の冪零元
- 環論：整従属性と有理整数環
- 環論：上半三角行列環の冪零元
- 環論：イデアルの局所化の準素分解
- （特別編）環論：無限次元ネーター環の例
- 環論：局所化の交叉として表される環
- 環論：イデアルの多項式環への拡大
- 体論：体の２次拡大の行列による実現
- （特別編）環論：加群の台と素因子
- （特別編）環論：加群の局所化の素因子
- （特別編）環論：加群の零因子と素因子の関係
- （特別編）環論：局所的判定法と加群の台
- （特別編）環論：局所化の素スペクトルについて
- （特別編）環論：局所化と剰余環の可換性
- 環論：可換環の素元と既約元
- 環論：可換環の素元と既約元
- （特別編）環論：可換環の局所化のイデアル
- 環論：ヴェロネーゼ環の定義イデアル
- （特別編）環論：局所化の完全性
- 環論：１変数多項式環の自己同型
- 環論：可換環の素イデアルによる局所化
- 環論：局所化、定義にしたがって
- 環論：冪等元とブール環
- 環論：左アルティン的でない右アルティン環
- 環論：Hilbertの基底定理
- 環論：単項式イデアルの準素分解
- 環論：イデアルの根基と素イデアル
- 環論：ネーター環のイデアルの素因子
- 環論：非ネーター的な部分環
- 環論：ネーター的でないアルティン加群、再び
- 環論：中山の補題
- （特別編）環論：準素分解の一意性を目指して
- （特別編）環論：Noetherの分解可能定理
- （特別編）環論：準素イデアルとザリスキー位相
- （特別編）環論：準素イデアルから準素イデアルをつくる
- （特別編）環論：準素イデアルの基本
- 環論：ネーター的でないアルティン加群
- （特別編）環論：多項式環の局所化について
- 環論：ＵＦＤと多項式の積
- 環論：極大イデアルのなす図形
- 環論：素元・既約元とＵＦＤ
- 環論：加群の直和とHom加群
- 環論：線型写像がなす加群
- 環論：ネーター性とCohenの定理
- 環論：付値と準素イデアル
- 環論：生成系、一次独立性および基底について
- 環論：１変数多項式環の導分
- 環論：単項イデアル整域の拡大
- 環論：実数値関数のなす環
- 環論：冪零・可逆である多項式
- 環論：アルティン環の基本性質
- 環論：斉次イデアルが素イデアルとなる条件
- 環論：既約多項式と多項式環の素イデアル
- 環論：単位元を持つとは限らない環の極大イデアルと剰余環
- 環論：中国剰余定理
- 環論：無限回整数値をとる有理関数について
- 環論：月を入力すると日数を返す多項式の構成
群論演習
- 位数4pの群〈龍孫江の群論演習〉
- 指数最小の部分群〈龍孫江の群論演習〉
- 極大部分群はあるか〈龍孫江の群論演習〉
- 有限指数の正規部分群２〈龍孫江の群論演習〉
- 有限指数の正規部分群〈龍孫江の群論演習〉
- 有限体の２平方和定理〈龍孫江の群論演習〉
- 同値関係と群の作用〈龍孫江の群論演習〉
- 位数６の行列〈龍孫江の群論演習〉
- 唯一の極大部分群〈龍孫江の群論演習〉
- 共役部分群の合併〈龍孫江の群論演習〉
- 群論：積の位数の計算
- 群論：群の可解性３題
- 群論：位数がpで割り切れない要素
- 群論：直積の部分群２種
- 群論：５次交代群の５シロー群
- 群論：交代群における正規化群
- 群論：特殊線型群の交換子群
- 群論：中心化群と正規化群
- 群論：Q/Zへの単射
- 群論：行列群とその計算
- 群論：非自明なフラッティーニ部分群
- 群論：数値的半群の拡大
- 群論：位数p^3の行列群
- 群論：行列空間の位相
- 群論：交換子群にならない群
- 群論：４次対称群の自己同型群
- 群論：部分群が定める同値関係
- 群論：対称群の交換子群
- 群論：対角部分群の正規化群
- 群論：部分群への共役作用
- 群論：剰余類空間への作用
- 群論：二面体群の組成列
- 群論：巡回群の組成列
- 群論：６次交代群の２シロー部分群
- 群論：有限群の置換表現
- 群論：置換の型と自己同型
- 群論：可移な作用と忠実な作用
- 群論：あみだくじの２つの読み方
- 群論：部分群とその交叉の指数
- 群論：有理数がなす加法群
- 群論：指数が素数の正規部分群
- 群論：位数p,qおよびpqの要素の数
- 群論：部分群の合併
- 群論：位数４・指数４の部分群
- 群論：２乗の全体とその指数
- 群論：有限アーベル群の位数最大の要素
- 群論：３倍元の全体がなす部分群
- 群論：剰余類内の置換
- 群論：剰余群も巡回群となる巡回部分群
- 群論：行列群への群の埋め込み
- 群論：11で割って1余る約数の数
- 群論：群準同型とアーベル群
- 群論：直積群の部分群の巡回性
- 群論：部分群とその像の指数
- 群論：直積群の部分群と射影
- 群論：中心化群と準同型
- 群論：アーベル群のねじれ部分群
- 群論：アーベル群の圏での全射・単射
- 群論：与えられた位数の要素を探す
- 群論：直積群への単射準同型
- 群論：有限指数の部分群の有無
- 群論：有限群の要素の位数の比較
- 群論：有限群の部分群の位数
- 群論：消去律と群構造
- 群論：準同型の和と部分群
- 群論：有限アーベル群の部分群
- 群論：整数の組から作られる群
- 群論：置換群の分解
- 群論：成分の入れ替え作用
- 群論：群の完全列と分裂
- 群論：位数８の群の分解
- 群論：スペシャル部分群の性質
- 群論：部分群とシロー部分群
- 群論：群の指数と準同型
- 群論：オイラー函数とメルセンヌ数
- 群論：可換な置換の軌道
- 群論：直積集合への作用と軌道
- 群論：半直積の部分群
- 群論：各行の和が１である行列
- 群論：直積群の自己同型３
- 群論：４次交代群での共役作用
- 群論：各要素の位数が素数なら
- 環論：有理数体の部分環の分類
- 群論：共役な置換の数
- 群論：組成列とその長さ
- 群論：位数2022の群
- 群論：二面体群の冪零性
- シロー部分群と正規化群の交叉
- 群論：位数の最大の素因数
- 群論：シロー部分群の正規化群
- 群論：行列群の作用と可移性
- 群論：互換の積で生成される群
- 群論：互換が生成する置換群
- 群論：p群の正規部分群
- 群論：位数2mの群の非単純性
- 群論：可解群・冪零群と群の拡大
- 群論：直積群の自己同型２
- 群論：３元体上の一般線型群２
- 群論：ジョルダン細胞の位数
- 群論：総ての部分群が正規部分群
- 群論：対称群の極限
- 群論：正規部分群と指数・剰余類
- 群論：位数７の群の自己同型群
- 群論：３元体上の一般線型群
- 群論：原始的有限群の特徴づけ
- 群論：二面体群とブロック
- 群論：位数21の群
- 群論：p^2次対称群のpシロー部分群
- 群論：位数２の要素の数
- 群論：有限アーベル群の型の数
- 群論：対称群の要素の位数
- 群論：同型な正規部分群
- 群論：四元数群の行列表現
- 群論：四元数群からの準同型
- 群論：四元数群の生成系と関係式
- 群論：対称群の部分群の数
- 群論：自身と同型な剰余群
- 群論：５次巡回群のベクトル空間への作用
- 群論：群の型が１種類となる位数
- 群論：有限アーベル群の符号
- （番外編）群論：置換群の作用と軌道
- 群論：６次対称群のシロー部分群
- 群論：有限体上の行列群と交代群
- 群論：位数12の群の２シロー群
- 群論：位数30の群の分類
- 群論：自己同型群とその表示
- 群論：素数位数の可換な要素
- 群論：群環の中心と共役類
- 群論：巡回群の拡大
- 群論：左剰余類と右剰余類
- 群論：可換環の１次変換群
- 群論：唯一の位数２の要素
- 群論：冪写像と位数８の群
- 群論：フラッティーニ部分群と生成系
- 群論：Lagrangeの定理の逆について
- 群論：有限アーベル群の極大部分群
- 群論：指数２の部分群をもつアーベル群
- 群論：一般線型群の標準作用
- 群論：対称群の直積
- 群論：三角行列のなす群
- 群論：三角行列の逆行列
- 群論：５次対称群の５シロー部分群
- 群論：二面体群の置換表現
- 群論：多項式を成分に持つ行列
- 群論：部分群と正規部分群
- 群論：交代群の作用が導く準同型
- 群論：一般線型群の中心
- 群論：不変部分集合の要素の数
- 群論：自己同型で不変な要素
- 群論：巡回群の直積が巡回群となる条件
- 群論：４次対称群の半直積分解
- 群論：Kleinの四元群の置換表現
- 群論：Kleinの四元群の自己同型群
- 群論：固定点の数と軌道の数
- 群論：位数が素数３個の積の群
- 群論：位数pqの群の分類
- 群論：巡回群の自己同型群
- 群論：指数２の正規部分群Ｚ
- 群論：指数３の正規部分群Ｚ
- 群論：行列群の要素の位数の最大値
- 群論：自明な自己同型群
- 群論：交代群の単純性
- 群論：交代群は小さな共役類をもてるか
- 群論：５次交代群の単純性
- 群論：５次交代群の共役類
- 群論：交代群での共役性
- 群論：置換群の中心の位数
- 群論：極大・極小条件を充たさない有限生成群
- 群論：上半三角行列群の可解性
- 群論：Cauchyの定理
- 群論：群の作用と p群の中心
- 群論：巡回置換と可換な要素
- 群論：４次巡回置換と互換で生成される群
- 群論：要素の位数と部分群の位数２
- 群論：要素の位数と部分群の位数１
- 群論：有限体上の円周多項式
- 群論：極大部分群と群の型
- 群論：巡回的な２シロー部分群
- 群論：正規な部分集合が生成する部分群
- 群論：環準同型写像と行列群
- 群論：素数位数の要素と群の巡回性
- 群論：有限アーベル群とシロー部分群
- 群論：有限生成アーベル群の部分群の生成元
- 群論：５次対称群の２シロー部分群
- 群論：生成元と関係式による群の決定
- 群論：多重可移な作用をもつ群
- 群論：位数2020の群の可解性
- 群論：2つの部分群がなす部分群の指数
- 群論：４次対称群の部分群への写像
- 群論：正規部分群のシロー部分群
- 群論：正六面体群の型の決定
- 群論：多項式の固定化部分群
- 群論：忠実な作用と群の型
- 群論：左右からの作用が等しい要素の対
- 群論：固定点をもたない要素の存在
- 群論：群のリース積の構成
- 群論：群の半直積の構成
- 群論：自己同型群と群の可換性
- 群論：有限群におけるｐ乗と直積分解
- 群論：有限アーベル群の総ての要素の積
- 群論：有限アーベル群の総ての要素の積
- 群論：正規化群の正規化群
- 群論：与えられた部分群を包む最小の正規部分群
- 群論：対称群の部分群の指数
- 群論：任意の部分群と交わる部分群
- 環論：有限環の単元群３
- 群論：部分群の指数と位数
- 群論：位数２の要素で生成される群
- 群論：Kleinの四元群の表現
- 群論：位数p^3の群
- 群論：自己同型群の作用と軌道の数
- 群論：19元体上の一般線型群
- 群論：有限生成アーベル群の直和分解
- 群論：巡回正規部分群の部分群
- 群論：有限体の乗法群のある置換
- 群論：２次行列の位数の可能性（お詫び・訂正版）
- 群論：シロー部分群の数
- 群論：シロー部分群の共役関係
- 群論：有限群の巡回性
- 群論：直積群の自己同型
- 群論：３元体上の特殊線型群
- 群論：複素数体の乗法群への群準同型
- 群論：自明表現の非自明な拡大
- 群論：ｐ群の部分群
- 群論：２個の非自明な部分群をもつ群
- 群論：２個の非自明な部分群をもつ群
- 群論：要素の位数が総て素数である群
- 群論：４個の共役類をもつ群
- 群論：置換の転倒数
- 群論：交代群の唯一性
- 群論：有限アーベル群の冪写像
- 群論：３次対称群の自己同型群
- （番外編）群論：位数 3p^n の群の可解性
- 群論：正六角形の自己同型群
- 群論：有限位数の行列
- 群論：部分群の全体がなす順序集合
- 群論：与えられた指数をもつ Z^2 の部分群
- 群論：対角部分群とその剰余群
- 群論：置換群の共役作用
- 群論：位数２の正規部分群
- 群論：部分群の積
- 群論：共役類を３個もつ群
- 群論：位数17の正規部分群
- 群論：置換群と各点の固定部分群
- 群論：内部自己同型と部分群の共役
- 群論：対称群の２元からなる生成系
- 群論：平方元を総て含む部分群
- 群論：位数８の群の分類
- 群論：群が直積に表せる条件
- 群論：位数 4p の群
- 群論：指数２の部分群は存在するか？
- （番外編）群論：群の可換性３題
- 群論：指数最小の部分群は正規部分群である
- 群論：有限群の過半数の要素を含む部分集合について
- 群論：指数有限の正規部分群は存在するか？
- 群論：有限位数の２要素の積はまた位数有限か？
- 群論：総ての真部分群を包む真部分群を持つ有限群
- 群論：部分群による同値関係と同値類の個数
- 群論：シロー部分群は存在します！
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