【東京帝國大學】体積一定の円錐の表面積を最小にする【戦前入試問題】

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公開日: 2021年4月16日

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・栄東中→筑駒高→東大理一→東大物理学科卒
・東大二次の数学で 9 割獲得し現役合格
・2014年 日本物理オリンピック金賞
・2014年 東大実戦模試物理1位

ℹ️ ご注意いただきたいこと
・解説は林俊介独自のもので，大学公式のものではありません。
・書籍等の紹介には Amazon アソシエイトリンクを用います。

今回は大正10年の工学部の問題。
体積が一定の円錐があるときに，その曲面積（側面積）が一番小さくなるのはどのようなときかを調べていきます。
体積が決まっているので，
・底面の半径
・円錐の高さ
・母線の長さ
（そのほか，展開図の扇形の中心角など）
のいずれか 1 つを決めれば，円錐は一意に定まります。
したがって，扱いやすいものを 1 つ選択し，それを文字でおいて側面積をその文字で表現することになります。

現在の東大入試問題と比べるとだいぶ簡単なので，高校生は気軽に挑戦可能。
ぜひ一度，自分で解いてみてください！

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＜目次＞
00:00 大正10年 (1921年) の東大入試
01:50 底面の半径 r で各長さを表現
06:16 展開図から側面積 S(r) を計算
09:03 S(r) の根号の中身を最小にする
11:10 円錐の高さと底面の半径の比
12:28 解法のまとめ
15:20 おわりに