【京大2001】3 次関数のグラフと直線が 3 点で交わる条件【方程式・領域】

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公開日: 2021年8月08日

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ℹ️ 林俊介のプロフィール
https://hayashishunsuke.com/profile/
・栄東中→筑駒高→東大理一→東大物理学科卒
・東大二次の数学で 9 割獲得し現役合格
・2014年日本物理オリンピック金賞
・2014年東大実戦模試物理1位

ℹ️ ご注意いただきたいこと
・解説は林俊介独自のもので，大学公式のものではありません。
・書籍等の紹介には Amazon アソシエイトリンクを用います。

2001年の京大理系数学より，軌跡の問題をピックアップしました。
C: y = x^3 というグラフの点 P における接線を， P を中心に反時計回りに 45º 回転してできた直線を L としたときに， C と L が相異なる 3 点で交わるような点 P の範囲が問われています。
P(p, p^3) として，回転後の直線 L の方程式を p を用いて表すというのがシンプルな発想で，それと y = x^3 を連立し，その x の 3 次方程式が相異なる 3 実解をもつような p の条件を考えれば OK です。
点 P を中心に接線を回転しているので，その 3 次方程式は必ず x = p を解にもつ，ということに注意しましょう。

なおこの問題では，答えを予想して，その必要性と十分性を示すという解法もありです。
どんな問題でも使えるというわけではありませんが，「どうしてその答えを思いついたのか」の説明が全く要らないので，ちゃんと証明できるのであれば強力な方法です。

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＜目次＞
00:00 2001年京大理系数学 [1]
00:43 問題文の条件のイメージ
06:53 回転後の直線の方程式
14:10 条件の言い換え (3 実解)
17:07 f(x) = 0 に関する 2 つの条件
25:58 答えの図示
27:19 解法のまとめ
29:50 別解: 答えを予想してしまう
36:28 学習者へのアドバイス
37:28 おわりに