【京大2007】証明の勉強になる良問！命題の真偽判定【整数の性質】

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公開日: 2021年5月25日

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ℹ️ 林俊介のプロフィール
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・栄東中→筑駒高→東大理一→東大物理学科卒
・東大二次の数学で 9 割獲得し現役合格
・2014年 日本物理オリンピック金賞
・2014年 東大実戦模試物理1位

ℹ️ ご注意いただきたいこと
・解説は林俊介独自のもので，大学公式のものではありません。
・書籍等の紹介には Amazon アソシエイトリンクを用います。

★訂正：02:14 で書いている √19 は，√16 の誤りです。

今回は，2007年の京大入試より，整数に関する命題の問題をピックアップ。
自然数 n についての 2 つの命題それぞれが正しいかどうかを判定します。
（正しいのであれば証明し，誤っているのであれば理由を述べるということです。）

ある程度無理数の計算や証明に習熟している人であれば，命題 p は感覚的に偽だと予想できるでしょう。
あとはそれをどう証明するかです。
「共に有理数である。」という命題が偽であることを証明したいので，共に有理数であることを仮定して矛盾を導くのがシンプルでよいと思います。

命題 q の真偽も，命題 p ほどでなくても予想しやすいのではないでしょうか。
感覚的に無理数だと思えるはずです。
ただ，命題 q では 2 つの数の引き算が有理数かどうかを考えているので，命題 p の結果を用いてすぐに命題 q の結果を出すことはできません。
（無理数どうしの差は無理数とは限らないからです。）
命題 p とは無理やり関連づけず，単体で証明するのがよいでしょう。

整数問題，特に証明を伴うものは，難関大入試に頻出です。
たくさん場数を踏んで力をつけておけば，他の受験生と差をつけられるはずです！

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＜目次＞
00:00 2007年 京大 文系数学 [5]
00:30 有理数と無理数の復習
01:20 命題 p：まずは真偽を予想
02:37 命題 p：共に有理数と仮定
04:07 命題 p：補題とその証明
06:26 命題 p：偽であることの証明
08:43 命題 p：解法のまとめ
10:49 命題 q：真偽の予想と注意点
12:52 命題 q：証明の方針
14:41 命題 q：n = ... の形にする
17:46 命題 q：解法のまとめ
19:38 全体のまとめ
20:06 おわりに